陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
3．已知 $a_{n}>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ，证明：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}{ }^{\alpha+1}}(\alpha>0)$ 收敛．（压中原题）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件，明确级数发散和部分和的性质
已知 $a_n > 0$，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散。定义部分和 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，则 $S_n$ 严格递增，且 $\lim_{n \to \infty} S_n = +\infty$。
公式：$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$，$\lim_{n\to\infty} S_n = +\infty$
提示：注意 $S_n$ 是正项递增数列，这是后续积分比较的基础。
步骤 2/5
目标：证明（1）：利用积分不等式放缩 $\frac{a_n}{S_n}$
由于 $\frac{1}{x}$ 在 $[S_{n-1}, S_n]$ 上递减，区间长度为 $a_n$，最小值在右端点 $S_n$，因此有 $\frac{a_n}{S_n} \ge \int_{S_{n-1}}^{S_n} \frac{dx}{x} = \ln S_n - \ln S_{n-1}$。
公式：$\frac{a_n}{S_n} \ge \ln S_n - \ln S_{n-1}$
提示：注意 $S_0$ 可定义为 $a_1$ 或 $0$，但为了对数有意义，通常取 $S_0 = a_1$，不影响发散性。
步骤 3/5
目标：证明（1）：累加得到部分和的下界，判断发散
对 $n$ 项部分和累加：$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{S_k} \ge \sum_{k=1}^n (\ln S_k - \ln S_{k-1}) = \ln S_n - \ln S_0$。由于 $S_n \to +\infty$，故 $\ln S_n \to +\infty$，部分和趋于无穷，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n}$ 发散。
公式：$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{S_k} \ge \ln S_n - \ln S_0 \to +\infty$
提示：这里用到了裂项相消，注意 $S_0$ 是常数，不影响无穷大的判断。
步骤 4/5
目标：证明（2）：利用积分不等式放缩 $\frac{a_n}{S_n^{\alpha+1}}$
对于 $\alpha > 0$，函数 $\frac{1}{x^{\alpha+1}}$ 在 $[S_{n-1}, S_n]$ 上递减，区间长度为 $a_n$，最小值在右端点 $S_n$，因此有 $\frac{a_n}{S_n^{\alpha+1}} \le \int_{S_{n-1}}^{S_n} \frac{dx}{x^{\alpha+1}}$。
公式：$\frac{a_n}{S_n^{\alpha+1}} \le \int_{S_{n-1}}^{S_n} \frac{dx}{x^{\alpha+1}}$
提示：注意不等号方向与（1）相反，因为这里用最小值放缩，得到的是上界。
步骤 5/5
目标：证明（2）：累加得到部分和的上界，判断收敛
对 $n$ 项部分和累加：$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{S_k^{\alpha+1}} \le \int_{S_0}^{S_n} \frac{dx}{x^{\alpha+1}} = \left[ -\frac{1}{\alpha x^\alpha} \right]_{S_0}^{S_n} = \frac{1}{\alpha S_0^\alpha} - \frac{1}{\alpha S_n^\alpha}$。由于 $S_n \to +\infty$，第二项趋于 $0$，故部分和有上界 $\frac{1}{\alpha S_0^\alpha}$。正项级数部分和有界，因此收敛。
公式：$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{S_k^{\alpha+1}} \le \frac{1}{\alpha S_0^\alpha}$
提示：$S_0$ 可取 $a_1$，确保积分收敛。注意 $\alpha > 0$ 是收敛的关键条件。
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