陕西师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{e^{n x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 的一致收敛性以及 $[a,+\infty)$ 的一致收敛性
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析级数的点态收敛域
将级数写为 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$。对于固定的 $x$，使用根值判别法：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n e^{-n x}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot e^{-x} = e^{-x}$。当 $x > 0$ 时，$e^{-x} < 1$，级数收敛；当 $x = 0$ 时，通项为 $n$，级数 $\sum n$ 发散。因此点态收敛域为 $(0, +\infty)$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n e^{-n x}} = e^{-x}$
提示：注意 $x=0$ 是边界点，需要单独判断，不能直接使用根值法（此时极限为1，判别法失效）。
步骤 2/4
目标：讨论在 $[0,+\infty)$ 上的一致收敛性
考虑区间包含 $x=0$。在 $x=0$ 处，级数通项为 $n$，不趋于0，因此级数在 $x=0$ 处发散。一致收敛的必要条件是通项在区间上一致趋于0，但这里在 $x=0$ 处通项不趋于0，故级数在 $[0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$\sup_{x \in [0,+\infty)} \left| \frac{n}{e^{n x}} \right| \ge n \to \infty$
提示：判断一致收敛时，若区间包含发散点，则必然不一致收敛。
步骤 3/4
目标：讨论在 $[a,+\infty)$（$a>0$）上的一致收敛性
当 $x \ge a > 0$ 时，有 $0 \le \frac{n}{e^{n x}} \le \frac{n}{e^{n a}}$。考虑常数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n a}$，用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)e^{-(n+1)a}}{n e^{-n a}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} e^{-a} = e^{-a} < 1$，故该级数收敛。由Weierstrass M-判别法，原级数在 $[a,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：$\frac{n}{e^{n x}} \le \frac{n}{e^{n a}}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n a} \text{ 收敛}$
提示：Weierstrass M-判别法要求找到一个与 $x$ 无关的收敛控制级数，这里 $M_n = n e^{-n a}$ 即可。
步骤 4/4
目标：总结结论
（1）在 $[0,+\infty)$ 上，由于 $x=0$ 处发散，级数不一致收敛。
（2）在任意 $[a,+\infty)$（其中 $a>0$）上，级数一致收敛。
公式：无
提示：注意区分点态收敛与一致收敛：点态收敛域是 $(0,+\infty)$，但一致收敛只能在闭区间 $[a,+\infty)$（$a>0$）上成立。
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