陕西师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-(1+2 x)^{\frac{1}{2}}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析极限类型与无穷小阶数
当 $x \to 0$ 时，分母 $\ln(1+x^2) \sim x^2$，是二阶无穷小。分子 $e^x - \sqrt{1+2x}$ 需要展开到足够高阶以确定其阶数。
公式：$\ln(1+t) \sim t \quad (t \to 0)$
提示：注意分母是 $\ln(1+x^2)$，不要误写成 $\ln(1+x)$。
步骤 2/7
目标：展开 $e^x$ 到 $x^3$ 项
使用麦克劳林展开：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$。
公式：$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
提示：展开到 $x^3$ 项即可，因为分母是 $x^2$ 阶，分子需要到 $x^3$ 才能准确判断系数。
步骤 3/7
目标：展开 $\sqrt{1+2x}$ 到 $x^3$ 项
使用二项式展开：$(1+2x)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(2x) + \frac{\frac12(-\frac12)}{2!}(2x)^2 + \frac{\frac12(-\frac12)(-\frac32)}{3!}(2x)^3 + O(x^4)$。计算得：$1 + x - \frac12 x^2 + \frac12 x^3 + O(x^4)$。
公式：$(1+u)^\alpha = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}u^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}u^3 + \cdots$
提示：注意 $(2x)^2 = 4x^2$，$(2x)^3 = 8x^3$，系数要逐项乘对。
步骤 4/7
目标：计算分子 $e^x - \sqrt{1+2x}$ 的展开式
相减：$(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) - (1 + x - \frac12 x^2 + \frac12 x^3) = (\frac12 + \frac12)x^2 + (\frac16 - \frac12)x^3 + O(x^4) = x^2 - \frac13 x^3 + O(x^4)$。
公式：$e^x - \sqrt{1+2x} = x^2 - \frac13 x^3 + O(x^4)$
提示：常数项和一次项完全抵消，分子是二阶无穷小，与分母同阶。
步骤 5/7
目标：展开分母 $\ln(1+x^2)$
使用 $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)$，令 $t = x^2$，得：$\ln(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)$。
公式：$\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$
提示：分母展开到 $x^2$ 项即可，因为分子最低阶也是 $x^2$。
步骤 6/7
目标：代入极限表达式并化简
原极限化为：$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \frac13 x^3 + O(x^4)}{x^2 - \frac12 x^4 + O(x^6)}$。分子分母同除以 $x^2$：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac13 x + O(x^2)}{1 - \frac12 x^2 + O(x^4)}$。
公式：$\frac{x^2 - \frac13 x^3 + O(x^4)}{x^2 - \frac12 x^4 + O(x^6)} = \frac{1 - \frac13 x + O(x^2)}{1 - \frac12 x^2 + O(x^4)}$
提示：除以 $x^2$ 时注意 $O(x^4)/x^2 = O(x^2)$，$O(x^6)/x^2 = O(x^4)$。
步骤 7/7
目标：求极限
当 $x \to 0$ 时，分子趋于 $1$，分母趋于 $1$，因此极限值为 $1$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac13 x + O(x^2)}{1 - \frac12 x^2 + O(x^4)} = \frac{1}{1} = 1$
提示：不要忘记 $O(x^2)$ 和 $O(x^4)$ 在 $x \to 0$ 时都趋于 $0$。
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