📝 陕西师范大学 2023年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-(1+2 x)^{\frac{1}{2}}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．

2．求不定积分 $\int x e^{2 x} \mathrm{~d} x$ ．

3．求拖物线 $y^{2}=x$ 与直线 $x-2 y-3=0$ 所围区域的面积．

4．求重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, D$ 为 $\displaystyle y=x, y=\frac{x}{2}, x=2$ 所围成的区域．

七．（20 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致连续．

三．（10 分）设 $\displaystyle z=f\left(x+y, x y, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

九．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 ; \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{cases}$
（1）求 $\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ；
（2）证明：$\displaystyle f_{x}(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不连续；
（3）证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．

二．（10 分）设 $\displaystyle x_{1}=10, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，试证数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 极限存在，并求此极限．

五．（15 分）已知 $\displaystyle p \in \mathbb{R}$ ，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{p}}$ 的敛散性．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>1)$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left[f(x)+\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right)\right] \mathrm{d} x$ ．

六．（15 分）计算 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 是以 $\displaystyle (1,0)$ 为圆心，以 $R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R \neq 1)$ ．

十．（15 分）求曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{1}{z} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=h(0<h<a)$ 所截的顶部．

四．（15 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得

$$
\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|
$$