陕西师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．求拖物线 $y^{2}=x$ 与直线 $x-2 y-3=0$ 所围区域的面积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲线与直线的方程
抛物线方程为 $y^2 = x$，直线方程为 $x - 2y - 3 = 0$，将其改写为 $x = 2y + 3$。
公式：抛物线：$y^2 = x$，直线：$x = 2y + 3$
提示：注意题目中的“拖物线”是笔误，应为“抛物线”。
步骤 2/5
目标：求交点坐标
将直线方程代入抛物线方程：$y^2 = 2y + 3$，整理得 $y^2 - 2y - 3 = 0$，因式分解为 $(y-3)(y+1)=0$，解得 $y=3$ 或 $y=-1$。代入直线得对应 $x$：$y=3$ 时 $x=9$，$y=-1$ 时 $x=1$。因此交点为 $(1,-1)$ 和 $(9,3)$。
公式：$y^2 - 2y - 3 = 0$
提示：解二次方程时注意因式分解的正确性，避免符号错误。
步骤 3/5
目标：确定积分变量和上下限
由于两条曲线均以 $y$ 表示 $x$ 更方便，选择对 $y$ 积分。在 $y$ 从 $-1$ 到 $3$ 的区间上，直线 $x=2y+3$ 在抛物线 $x=y^2$ 的右侧（因为 $2y+3 - y^2 = -(y-3)(y+1) \geq 0$），故面积公式为 $A = \int_{y=-1}^{3} [(2y+3) - y^2] \, dy$。
公式：$A = \int_{-1}^{3} (2y+3 - y^2) \, dy$
提示：判断哪条曲线在上方（右侧）时，可代入区间内一点（如 $y=0$）检验差值正负。
步骤 4/5
目标：计算积分
先求原函数：$\int (2y+3 - y^2) \, dy = y^2 + 3y - \frac{y^3}{3}$。代入上限 $y=3$：$9 + 9 - \frac{27}{3} = 18 - 9 = 9$；代入下限 $y=-1$：$1 - 3 - \left(-\frac{1}{3}\right) = -2 + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}$。相减得 $9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}$。
公式：$\int (2y+3 - y^2) \, dy = y^2 + 3y - \frac{y^3}{3}$
提示：代入下限时注意负号的处理，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
因此，所围区域的面积为 $\frac{32}{3}$。
公式：$\boxed{\frac{32}{3}}$
提示：答案应化简为最简分数形式。
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