陕西师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将问题转化为便于使用中值定理的形式
由已知，\( f'(a)=f'(b)=0 \)，我们考虑在区间中点附近展开。记中点 \( c = \frac{a+b}{2} \)，区间长度为 \( L = b-a \)，则 \( c-a = b-c = \frac{L}{2} \)。
公式：c = \frac{a+b}{2}, \quad L = b-a
提示：注意中点坐标的对称性，这有助于后续展开后消去一阶导数项。
步骤 2/5
目标：在 a 点展开到二阶
因为 \( f'(a)=0 \)，在 \( a \) 处对 \( f(c) \) 做带拉格朗日余项的一阶泰勒展开：
\[ f(c) = f(a) + f'(a)(c-a) + \frac{1}{2} f''(\xi_1)(c-a)^2 \]
其中 \( \xi_1 \in (a, c) \)。代入 \( f'(a)=0 \) 和 \( c-a = \frac{L}{2} \) 得：
\[ f(c) - f(a) = \frac{L^2}{8} f''(\xi_1). \]
公式：f(c) - f(a) = \frac{L^2}{8} f''(\xi_1)
提示：注意余项中的二阶导数是在 \( \xi_1 \) 处取值，\( \xi_1 \) 介于 \( a \) 和 \( c \) 之间。
步骤 3/5
目标：在 b 点展开到二阶
类似地，在 \( b \) 处对 \( f(c) \) 展开：
\[ f(c) = f(b) + f'(b)(c-b) + \frac{1}{2} f''(\xi_2)(c-b)^2 \]
其中 \( \xi_2 \in (c, b) \)。代入 \( f'(b)=0 \) 和 \( c-b = -\frac{L}{2} \) 得：
\[ f(c) - f(b) = \frac{L^2}{8} f''(\xi_2). \]
公式：f(c) - f(b) = \frac{L^2}{8} f''(\xi_2)
提示：注意 \( c-b \) 为负值，但平方后为正，因此形式与第一步对称。
步骤 4/5
目标：两式相减得到差值的表达式
将两个展开式相减：
\[ [f(c)-f(a)] - [f(c)-f(b)] = \frac{L^2}{8}[f''(\xi_1) - f''(\xi_2)] \]
左边化简为 \( f(b) - f(a) \)，因此：
\[ f(b) - f(a) = \frac{L^2}{8}[f''(\xi_1) - f''(\xi_2)]. \]
取绝对值：
\[ |f(b)-f(a)| = \frac{L^2}{8} |f''(\xi_1) - f''(\xi_2)|. \]
公式：|f(b)-f(a)| = \frac{L^2}{8} |f''(\xi_1) - f''(\xi_2)|
提示：相减时注意消去 \( f(c) \)，得到两端函数值的差。
步骤 5/5
目标：利用绝对值不等式得到下界
由绝对值不等式：
\[ |f''(\xi_1) - f''(\xi_2)| \le |f''(\xi_1)| + |f''(\xi_2)| \le 2 \max\{|f''(\xi_1)|, |f''(\xi_2)|\}. \]
代入上式得：
\[ |f(b)-f(a)| \le \frac{L^2}{8} \cdot 2 \max\{|f''(\xi_1)|,|f''(\xi_2)|\} = \frac{L^2}{4} \max\{|f''(\xi_1)|,|f''(\xi_2)|\}. \]
因此：
\[ \max\{|f''(\xi_1)|,|f''(\xi_2)|\} \ge \frac{4}{L^2} |f(b)-f(a)|. \]
公式：\max\{|f''(\xi_1)|,|f''(\xi_2)|\} \ge \frac{4}{(b-a)^2} |f(b)-f(a)|
提示：取 \( \xi \) 为 \( \xi_1 \) 和 \( \xi_2 \) 中二阶导绝对值较大的那个，显然 \( \xi \in (a,b) \)，结论得证。
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