陕西师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
十．（15 分）求曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{1}{z} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=h(0<h<a)$ 所截的顶部．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解曲面与参数化
曲面方程为 $x^2+y^2+z^2=a^2$，被平面 $z=h$（$0
公式：z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}
提示：注意 $z$ 的范围是从 $h$ 到 $a$，投影区域由 $z=h$ 确定。
步骤 2/5
目标：计算面积元并转化为投影积分
对于显式曲面 $z=f(x,y)$，面积元 $\mathrm{d}S = \sqrt{1+(\partial z/\partial x)^2+(\partial z/\partial y)^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。计算偏导数：$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}$。代入得 $1+\frac{x^2+y^2}{z^2} = \frac{a^2}{z^2}$，因此 $\mathrm{d}S = \frac{a}{z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。原积分化为 $\iint_{\Sigma} \frac{1}{z}\mathrm{d}S = \iint_{D} \frac{1}{z}\cdot\frac{a}{z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{D} \frac{a}{z^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中 $D$ 为曲面在 $xy$ 平面上的投影。
公式：\mathrm{d}S = \frac{a}{z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y
提示：注意 $z$ 在分母，需确保 $z>0$，此处 $z\ge h>0$ 满足条件。
步骤 3/5
目标：确定投影区域并化为极坐标
投影区域 $D$ 由 $z=h$ 与球面相交的圆决定：$\sqrt{a^2-x^2-y^2}=h$ 得 $x^2+y^2=a^2-h^2$，故 $D$ 是半径为 $\sqrt{a^2-h^2}$ 的圆盘。采用极坐标：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=\sqrt{a^2-r^2}$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，积分区域 $0\le r\le\sqrt{a^2-h^2}$，$0\le\theta\le2\pi$。积分变为 $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\sqrt{a^2-h^2}} \frac{a}{a^2-r^2}\cdot r\,\mathrm{d}r$。
公式：\iint_D \frac{a}{z^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\sqrt{a^2-h^2}} \frac{a r}{a^2-r^2}\,\mathrm{d}r
提示：注意 $z^2 = a^2 - r^2$，不要遗漏极坐标的 $r$ 因子。
步骤 4/5
目标：计算径向积分
计算 $\int_0^{\sqrt{a^2-h^2}} \frac{a r}{a^2-r^2}\,\mathrm{d}r$。令 $u=a^2-r^2$，则 $\mathrm{d}u=-2r\,\mathrm{d}r$，$r\,\mathrm{d}r = -\frac{1}{2}\mathrm{d}u$。换限：$r=0$ 时 $u=a^2$，$r=\sqrt{a^2-h^2}$ 时 $u=h^2$。积分化为 $\int_{a^2}^{h^2} \frac{a}{u}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\mathrm{d}u = \frac{a}{2}\int_{h^2}^{a^2} \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u = \frac{a}{2}[\ln u]_{h^2}^{a^2} = \frac{a}{2}(\ln a^2 - \ln h^2) = \frac{a}{2}\cdot 2\ln\frac{a}{h} = a\ln\frac{a}{h}$。
公式：\int_0^{\sqrt{a^2-h^2}} \frac{a r}{a^2-r^2}\,\mathrm{d}r = a\ln\frac{a}{h}
提示：换元时注意积分限的变化，对数运算中 $\ln a^2 = 2\ln a$，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：乘上角度积分并得出最终结果
角度部分 $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta = 2\pi$，与径向积分结果相乘得 $\iint_{\Sigma} \frac{1}{z}\mathrm{d}S = 2\pi \cdot a\ln\frac{a}{h} = 2\pi a \ln\frac{a}{h}$。
公式：\iint_{\Sigma} \frac{1}{z}\mathrm{d}S = 2\pi a \ln\frac{a}{h}
提示：最终结果应化简，注意 $a>h>0$ 保证对数有意义。
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