陕西师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
二．（10 分）设 $\displaystyle x_{1}=10, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，试证数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 极限存在，并求此极限．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察数列的单调性与有界性
计算前几项：\(x_1=10\)，\(x_2=\sqrt{6+10}=4\)，\(x_3=\sqrt{6+4}=\sqrt{10}\approx 3.1623\)，\(x_4=\sqrt{6+3.1623}=\sqrt{9.1623}\approx 3.027\)。数列呈现递减趋势，猜测极限为3。
提示：通过具体数值感受数列变化趋势，有助于后续证明方向的判断。
步骤 2/5
目标：证明数列有下界
先证 \(x_n>3\) 对所有 \(n\) 成立。\(x_1=10>3\)。假设 \(x_n>3\)，则 \(x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}>\sqrt{6+3}=3\)。由数学归纳法，对所有 \(n\) 有 \(x_n>3\)，故数列有下界3。
公式：x_{n+1} = \sqrt{6+x_n} > \sqrt{6+3} = 3
提示：注意归纳假设的使用，下界3是后续单调性证明的关键。
步骤 3/5
目标：证明数列单调递减
比较 \(x_{n+1}\) 与 \(x_n\)：\(x_{n+1}0\)，因式分解得 \((x_n-3)(x_n+2)>0\)。由 \(x_n>3\) 知不等式成立，故 \(x_{n+1}
公式：x_{n+1} < x_n \iff (x_n-3)(x_n+2) > 0
提示：平方时注意两边均为正数，避免符号错误。
步骤 4/5
目标：由单调有界定理得出极限存在
数列 \(\{x_n\}\) 单调递减且有下界3，根据单调有界定理，极限存在。设极限为 \(L\)，则 \(L \ge 3\)。
提示：单调有界定理是数列极限存在的重要判定方法。
步骤 5/5
目标：求极限值
对递推式 \(x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}\) 两边取极限得 \(L=\sqrt{6+L}\)。两边平方得 \(L^2=6+L\)，即 \(L^2-L-6=0\)。解得 \(L=\frac{1\pm5}{2}\)，即 \(L=3\) 或 \(L=-2\)。由于 \(L\ge3\)，故 \(L=3\)。
公式：L = \sqrt{6+L} \Rightarrow L^2 - L - 6 = 0 \Rightarrow L = 3
提示：注意舍去负根，极限值必须满足数列的保号性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。