陕西师范大学 2023年数学分析第0题

级数通项为 $a_n = \frac{\ln n}{n^p}$，当 $n \ge 2$ 时 $\ln n > 0$，$n=1$ 时 $\ln 1 = 0$ 不影响敛散性，因此可视为正项级数。回忆 $p$ 级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 在 $p>1$ 时收敛，$p \le 1$ 时发散。这里多了一个增长缓慢的 $\ln n$ 因子，需要讨论临界情况。

考虑函数 $f(x) = \frac{\ln x}{x^p}$，$x \ge 2$。当 $p>0$ 时，$f(x)$ 在 $x$ 充分大后单调递减（可验证导数 $f'(x) = \frac{1 - p \ln x}{x^{p+1}}$ 当 $x > e^{1/p}$ 时为负），满足积分判别法条件。级数 $\sum_{n=2}^\infty \frac{\ln n}{n^p}$ 与反常积分 $\int_2^\infty \frac{\ln x}{x^p} \, dx$ 同敛散。

使用分部积分：设 $u = \ln x$，$dv = x^{-p} dx$，则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = \frac{x^{1-p}}{1-p}$（$p \neq 1$）。 $$\int \frac{\ln x}{x^p} dx = \frac{x^{1-p} \ln x}{1-p} - \int \frac{x^{1-p}}{1-p} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^{1-p} \ln x}{1-p} - \frac{1}{1-p} \int x^{-p} dx$$ $$= \frac{x^{1-p} \ln x}{1-p} - \frac{x^{1-p}}{(1-p)^2} + C$$ 从 $2$ 到 $\infty$ 的积分收敛性取决于 $x \to \infty$ 时 $x^{1-p} \ln x$ 的极限： - 若 $p > 1$，则 $1-p < 0$，$x^{1-p} \to 0$，$\ln x$ 增长慢，乘积趋于 $0$，积分收敛。 - 若 $p < 1$，则 $1-p > 0$，$x^{1-p} \to \infty$，积分发散。

当 $p=1$ 时，积分为 $\int_2^\infty \frac{\ln x}{x} dx$。令 $u = \ln x$，则 $du = \frac{dx}{x}$，积分变为 $\int_{\ln 2}^\infty u \, du$。该积分发散，因为原函数 $\frac{u^2}{2} \to \infty$。因此 $p=1$ 时级数发散。

当 $p < 0$ 时，$n^p = n^{-|p|}$，通项 $\frac{\ln n}{n^p} = n^{|p|} \ln n$，当 $n \to \infty$ 时趋于 $+\infty$，不满足级数收敛的必要条件（通项趋于0），故发散。 当 $p = 0$ 时，通项为 $\ln n$，同样趋于 $\infty$，发散。

综合以上讨论： - 当 $p > 1$ 时，积分收敛，故原级数收敛。 - 当 $p \le 1$ 时，包括 $p=1$ 和 $p<1$ 以及 $p \le 0$，级数均发散。 因此，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^p}$ 在 $p > 1$ 时收敛，在 $p \le 1$ 时发散。