陕西师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
三．（10 分）设 $\displaystyle z=f\left(x+y, x y, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：引入中间变量，明确复合函数结构
设 $u = x + y$, $v = xy$, $w = \frac{x}{y}$，则 $z = f(u, v, w)$。这样将原函数转化为三元函数 $f$ 与三个中间变量的复合。
公式：$u = x + y,\quad v = xy,\quad w = \frac{x}{y}$
提示：注意 $w$ 的定义中分母 $y \neq 0$，后续求导时需考虑定义域。
步骤 2/8
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$
由链式法则：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}
$$
计算各中间变量对 $x$ 的偏导：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 1,\quad \frac{\partial v}{\partial x} = y,\quad \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{1}{y}
$$
代入得：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot 1 + f_v \cdot y + f_w \cdot \frac{1}{y}
$$
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = f_u + y f_v + \frac{1}{y} f_w$
提示：记号 $f_u$ 表示 $f$ 对第一个中间变量 $u$ 的偏导，其余类似；这些偏导仍是 $u,v,w$ 的函数。
步骤 3/8
目标：准备求混合偏导 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$，先求各中间变量对 $y$ 的偏导
计算中间变量对 $y$ 的偏导：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = 1,\quad \frac{\partial v}{\partial y} = x,\quad \frac{\partial w}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}
$$
这些将用于后续对 $f_u, f_v, f_w$ 求偏导时的链式法则。
公式：$\frac{\partial u}{\partial y}=1,\; \frac{\partial v}{\partial y}=x,\; \frac{\partial w}{\partial y}=-\frac{x}{y^2}$
提示：注意 $\frac{\partial w}{\partial y}$ 的符号和分母 $y^2$，容易出错。
步骤 4/8
目标：对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 中的第一项 $f_u$ 求关于 $y$ 的偏导
由链式法则：
$$
\frac{\partial}{\partial y} f_u = f_{uu} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{uv} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} + f_{uw} \cdot \frac{\partial w}{\partial y}
$$
代入上一步结果：
$$
\frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} \cdot 1 + f_{uv} \cdot x + f_{uw} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right)
$$
公式：$\frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} + x f_{uv} - \frac{x}{y^2} f_{uw}$
提示：这里 $f_{uu}$ 表示 $f$ 先对 $u$ 再对 $u$ 求二阶偏导，其余类似；假设混合偏导可交换次序。
步骤 5/8
目标：对第二项 $y f_v$ 求关于 $y$ 的偏导（乘积法则）
使用乘积法则：
$$
\frac{\partial}{\partial y}(y f_v) = f_v + y \cdot \frac{\partial f_v}{\partial y}
$$
其中
$$
\frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot 1 + f_{vv} \cdot x + f_{vw} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right)
$$
由于 $f_{vu}=f_{uv}$，代入得：
$$
\frac{\partial}{\partial y}(y f_v) = f_v + y\left( f_{uv} + x f_{vv} - \frac{x}{y^2} f_{vw} \right)
$$
公式：$\frac{\partial}{\partial y}(y f_v) = f_v + y f_{uv} + xy f_{vv} - \frac{x}{y} f_{vw}$
提示：注意 $y \cdot \frac{x}{y^2} = \frac{x}{y}$，化简时不要漏掉系数。
步骤 6/8
目标：对第三项 $\frac{1}{y} f_w$ 求关于 $y$ 的偏导（乘积法则）
使用乘积法则：
$$
\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{y} f_w \right) = -\frac{1}{y^2} f_w + \frac{1}{y} \cdot \frac{\partial f_w}{\partial y}
$$
其中
$$
\frac{\partial f_w}{\partial y} = f_{wu} \cdot 1 + f_{wv} \cdot x + f_{ww} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right)
$$
利用 $f_{wu}=f_{uw}$，$f_{wv}=f_{vw}$，代入得：
$$
\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{y} f_w \right) = -\frac{1}{y^2} f_w + \frac{1}{y}\left( f_{uw} + x f_{vw} - \frac{x}{y^2} f_{ww} \right)
$$
公式：$\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{y} f_w \right) = -\frac{1}{y^2} f_w + \frac{1}{y} f_{uw} + \frac{x}{y} f_{vw} - \frac{x}{y^3} f_{ww}$
提示：注意 $\frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y^2} = \frac{x}{y^3}$，分母指数容易算错。
步骤 7/8
目标：合并所有项得到混合偏导 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
将前三步结果相加：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \left( f_{uu} + x f_{uv} - \frac{x}{y^2} f_{uw} \right) + \left( f_v + y f_{uv} + xy f_{vv} - \frac{x}{y} f_{vw} \right) + \left( -\frac{1}{y^2} f_w + \frac{1}{y} f_{uw} + \frac{x}{y} f_{vw} - \frac{x}{y^3} f_{ww} \right)
$$
合并同类项：
- $f_{uu}$：系数 $1$
- $f_{uv}$：$x + y$
- $f_{uw}$：$-\frac{x}{y^2} + \frac{1}{y} = \frac{y - x}{y^2}$
- $f_v$：系数 $1$
- $f_{vv}$：$xy$
- $f_{vw}$：$-\frac{x}{y} + \frac{x}{y} = 0$
- $f_w$：$-\frac{1}{y^2}$
- $f_{ww}$：$-\frac{x}{y^3}$
最终结果为：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{uu} + (x+y) f_{uv} + \frac{y-x}{y^2} f_{uw} + f_v + xy f_{vv} - \frac{1}{y^2} f_w - \frac{x}{y^3} f_{ww}
$$
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{uu} + (x+y) f_{uv} + \frac{y-x}{y^2} f_{uw} + f_v + xy f_{vv} - \frac{1}{y^2} f_w - \frac{x}{y^3} f_{ww}$
提示：合并时注意 $f_{vw}$ 项恰好抵消，这是常见检验计算是否正确的标志。
步骤 8/8
目标：整理最终答案
将一阶和二阶偏导结果以框式呈现：
$$
\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=f_u+y f_v+\frac{1}{y}f_w}
$$
$$
\boxed{\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=f_{uu}+(x+y)f_{uv}+\frac{y-x}{y^{2}}f_{uw}+f_v+xy\,f_{vv}-\frac{1}{y^{2}}f_w-\frac{x}{y^{3}}f_{ww}}
$$
公式：见上
提示：最终答案中所有 $f$ 的偏导的自变量仍是 $(u,v,w)$，不要忘记代入。
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