陕西师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．求不定积分 $\int x e^{2 x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：选择分部积分公式并设定u和dv
分部积分公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。令 $u = x$，$dv = e^{2x} \, dx$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：选择 $u$ 时通常选容易求导的函数，$dv$ 选容易积分的函数。这里 $x$ 求导后变简单，$e^{2x}$ 容易积分。
步骤 2/5
目标：求微分和积分
对 $u = x$ 求微分得 $du = dx$。对 $dv = e^{2x} \, dx$ 积分得 $v = \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x}$。
公式：$\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$
提示：注意 $e^{2x}$ 的积分要乘以 $\frac{1}{2}$，不要忘记系数。
步骤 3/5
目标：代入分部积分公式
代入公式：$\int x e^{2x} \, dx = x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \, dx = \frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \, dx$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：代入时注意符号和系数，不要漏掉积分号。
步骤 4/5
目标：计算剩下的积分
计算 $\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x}$，代入得：$\frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} = \frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x}$。
公式：$\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x}$
提示：注意系数相乘：$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
步骤 5/5
目标：加上积分常数并化简
加上任意常数 $C$，得 $\int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C$。可提取公因子 $\frac{1}{4} e^{2x}$ 写成 $\frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + C$。
公式：最终结果：$\frac{1}{4} e^{2x}(2x-1) + C$
提示：常数 $C$ 不要遗漏，化简时注意提取公因子。
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