陕西师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>1)$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left[f(x)+\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right)\right] \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析等式结构，确定证明思路
观察待证等式：
\[
\int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a} \left[ f(x) + \frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right) \right] dx
\]
右边包含两项，其中第二项含有 $\frac{1}{x^2} f(1/x)$，提示可能通过变量代换 $t = 1/x$ 将其转化为与左边相同的形式。
公式：\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right) dx
提示：注意区间 $[1/a, a]$ 在 $a>1$ 时包含1，且 $1/x$ 将区间映射为自身但顺序反转。
步骤 2/5
目标：对第二项进行变量代换
令 $t = \frac{1}{x}$，则 $x = \frac{1}{t}$，$dx = -\frac{1}{t^2} dt$。当 $x = \frac{1}{a}$ 时，$t = a$；当 $x = a$ 时，$t = \frac{1}{a}$。被积函数中的 $\frac{1}{x^2} = t^2$，$f(1/x) = f(t)$，因此：
\[
\frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right) dx = t^2 f(t) \cdot \left(-\frac{1}{t^2} dt\right) = -f(t) dt
\]
公式：dx = -\frac{1}{t^2} dt,\quad \frac{1}{x^2} = t^2
提示：代换时注意微分和函数形式的同步变化，避免符号错误。
步骤 3/5
目标：计算代换后的积分
将积分限和表达式代入：
\[
\int_{x=1/a}^{a} \frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right) dx = \int_{t=a}^{1/a} -f(t) dt = \int_{1/a}^{a} f(t) dt
\]
这里利用了积分限反转时添加负号的性质：$\int_a^b = -\int_b^a$。
公式：\int_{a}^{1/a} -f(t) dt = \int_{1/a}^{a} f(t) dt
提示：积分限从大到小时，交换上下限需加负号，这是常见易错点。
步骤 4/5
目标：将结果代入原等式右边
右边第二项积分等于 $\int_{1/a}^{a} f(t) dt$，而第一项为 $\int_{1/a}^{a} f(x) dx$，由于积分变量名称无关，两者相等。因此：
\[
\frac{1}{2} \int_{1/a}^{a} \left[ f(x) + \frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right) \right] dx = \frac{1}{2} \left( \int_{1/a}^{a} f(x) dx + \int_{1/a}^{a} f(t) dt \right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{1/a}^{a} f(x) dx = \int_{1/a}^{a} f(x) dx
\]
公式：\frac{1}{2} \left( I + I \right) = I,\quad I = \int_{1/a}^{a} f(x) dx
提示：积分变量符号可任意替换，这是积分的基本性质。
步骤 5/5
目标：得出结论
左边等于右边，等式得证。该证明的关键在于利用倒变换 $x \mapsto 1/x$ 将第二项转化为与第一项相同的形式。
公式：\int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) dx = \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) dx
提示：证明过程中无需对 $f$ 做额外假设，仅需连续性保证积分存在。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。