陕西师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）计算 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 是以 $\displaystyle (1,0)$ 为圆心，以 $R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R \neq 1)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别被积表达式与奇点
设被积表达式为 $P\,dx + Q\,dy$ 形式，其中 $P = \dfrac{-y}{4x^2+y^2}$，$Q = \dfrac{x}{4x^2+y^2}$。分母 $4x^2+y^2=0$ 仅在 $(0,0)$ 处为零，故原点是被积函数的唯一奇点。
公式：$P(x,y) = \dfrac{-y}{4x^2+y^2},\quad Q(x,y) = \dfrac{x}{4x^2+y^2}$
提示：注意分母为零的点只有原点，因为 $4x^2+y^2=0 \Rightarrow x=0,y=0$。
步骤 2/7
目标：验证保守性（恰当条件）
计算偏导数：
$\dfrac{\partial P}{\partial y} = -\dfrac{(4x^2+y^2)-y\cdot 2y}{(4x^2+y^2)^2} = -\dfrac{4x^2-y^2}{(4x^2+y^2)^2}$，
$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{(4x^2+y^2)-x\cdot 8x}{(4x^2+y^2)^2} = \dfrac{-4x^2+y^2}{(4x^2+y^2)^2}$。
两者相等，故除原点外向量场保守。
公式：$\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{-4x^2+y^2}{(4x^2+y^2)^2}$
提示：保守性意味着在单连通区域内积分与路径无关，但原点破坏了单连通性。
步骤 3/7
目标：根据圆周是否包围原点分类讨论
圆心为 $(1,0)$，到原点距离为 $1$。半径 $R$ 与 $1$ 的关系决定圆周是否包围原点：
- 若 $R<1$，原点在圆周外，积分路径不包围奇点；
- 若 $R>1$，原点在圆周内，积分路径包围奇点。
题目已排除 $R=1$（圆周过原点，积分发散）。
公式：圆心距 $d=1$，比较 $R$ 与 $1$
提示：画图辅助理解：圆心在 $(1,0)$，半径为 $R$ 的圆是否包含原点。
步骤 4/7
目标：情况一：R < 1 时积分值为零
当 $R<1$ 时，圆周 $L$ 不包含原点。在 $L$ 所围成的单连通区域内，被积函数处处解析（无奇点），由格林公式或保守性知闭合曲线积分为零。
公式：$\oint_L \dfrac{x\,dy - y\,dx}{4x^2+y^2} = 0$
提示：注意格林公式要求区域内无奇点，此处满足。
步骤 5/7
目标：情况二：R > 1 时通过仿射变换化简
令 $u = 2x,\; v = y$，则 $x = \dfrac{u}{2},\; y = v$，分母 $4x^2+y^2 = u^2+v^2$，分子 $x\,dy - y\,dx = \dfrac{u}{2}\,dv - v\cdot\dfrac{du}{2} = \dfrac12(u\,dv - v\,du)$。原积分化为：
$\displaystyle \frac12 \oint_{L'} \frac{u\,dv - v\,du}{u^2+v^2}$，其中 $L'$ 是原圆周在 $(u,v)$ 平面上的像（椭圆）。
公式：$\displaystyle \oint_L \frac{x\,dy - y\,dx}{4x^2+y^2} = \frac12 \oint_{L'} \frac{u\,dv - v\,du}{u^2+v^2}$
提示：仿射变换保持原点位置不变，且 $L'$ 仍包围原点（因为 $R>1$ 时 $2R>2$）。
步骤 6/7
目标：计算标准形式积分
对于绕原点的任意简单闭曲线，有经典结论：$\displaystyle \oint \frac{u\,dv - v\,du}{u^2+v^2} = 2\pi$（表示角度变化 $2\pi$）。因此：
$\displaystyle \frac12 \cdot 2\pi = \pi$。
公式：$\displaystyle \oint_{L'} \frac{u\,dv - v\,du}{u^2+v^2} = 2\pi$
提示：此结论可通过参数化 $u = r\cos\theta,\; v = r\sin\theta$ 直接验证。
步骤 7/7
目标：综合结果
综上，积分值取决于半径 $R$：
- 当 $R<1$ 时，积分值为 $0$；
- 当 $R>1$ 时，积分值为 $\pi$。
题目条件 $R \neq 1$ 保证了积分有意义。
公式：$\displaystyle \oint_L \frac{x\,dy - y\,dx}{4x^2+y^2} = \begin{cases} 0, & R<1 \\ \pi, & R>1 \end{cases}$
提示：注意 $R=1$ 时圆周经过奇点，积分发散，故题目排除此情况。
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