陕西师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．求重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, D$ 为 $\displaystyle y=x, y=\frac{x}{2}, x=2$ 所围成的区域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域D的边界与描述
由直线 $y=x$，$y=\frac{x}{2}$ 和 $x=2$ 围成的区域是一个三角形。求出交点：原点 $(0,0)$；$x=2$ 与 $y=x$ 的交点为 $(2,2)$；$x=2$ 与 $y=\frac{x}{2}$ 的交点为 $(2,1)$。因此区域 $D$ 可表示为 $0 \le x \le 2$，$\frac{x}{2} \le y \le x$。
公式：D: \{ (x,y) \mid 0 \le x \le 2,\; \frac{x}{2} \le y \le x \}
提示：注意三条直线围成的区域是三角形，不要遗漏原点。画图辅助理解。
步骤 2/4
目标：将二重积分化为累次积分
由于被积函数 $\frac{\sin x}{x}$ 只依赖于 $x$，先对 $y$ 积分更方便：
$$\iint_D \frac{\sin x}{x} \, dx\,dy = \int_{x=0}^{2} \frac{\sin x}{x} \left( \int_{y=x/2}^{x} dy \right) dx$$
公式：\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \int_{0}^{2} \frac{\sin x}{x} \left( \int_{x/2}^{x} dy \right) dx
提示：选择积分次序时，优先考虑被积函数中变量是否可分离，此处先对y积分可简化计算。
步骤 3/4
目标：计算内层对y的积分
内层积分 $\int_{y=x/2}^{x} dy = y \big|_{x/2}^{x} = x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}$。
公式：\int_{x/2}^{x} dy = \frac{x}{2}
提示：对y积分时，x视为常数，积分结果仅与x有关。
步骤 4/4
目标：化简并计算外层积分
代入内层积分结果，原式化为：
$$\int_{0}^{2} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{x}{2} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{\sin x}{2} \, dx$$
计算得：
$$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} \sin x \, dx = \frac{1}{2} \left[ -\cos x \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} (-\cos 2 + \cos 0) = \frac{1}{2} (1 - \cos 2)$$
公式：\int_{0}^{2} \frac{\sin x}{2} \, dx = \frac{1 - \cos 2}{2}
提示：注意 $\cos 0 = 1$，不要遗漏负号。最终结果需化简。
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