陕西师范大学 2023年数学分析第0题

已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to -\infty}f(x)=A$，$\lim_{x\to +\infty}f(x)=B$ 都存在（有限数）。要证明 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。一致连续的定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in(-\infty,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。

对任意给定的 $\varepsilon>0$，由 $\lim_{x\to -\infty}f(x)=A$ 知，存在 $M_1>0$，使得当 $x<-M_1$ 时，$|f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{3}$。由 $\lim_{x\to +\infty}f(x)=B$ 知，存在 $M_2>0$，使得当 $x>M_2$ 时，$|f(x)-B|<\frac{\varepsilon}{3}$。取 $M=\max\{M_1,M_2\}$，则当 $x<-M$ 或 $x>M$ 时，函数值分别接近 $A$ 和 $B$，变化幅度不超过 $\frac{\varepsilon}{3}$。

考虑闭区间 $[-M-1,M+1]$。由于 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，故在闭区间 $[-M-1,M+1]$ 上一致连续。因此对上述 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[-M-1,M+1]$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_1$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}$。

取 $\delta=\min\{\delta_1,1\}$。任取 $x_1,x_2\in(-\infty,+\infty)$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$。分五种情况： 1. 两点都在 $[-M,M]$ 内：由 $\delta\le\delta_1$ 及 $[-M,M]\subset[-M-1,M+1]$，得 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon$。 2. 两点都在 $(-\infty,-M)$ 内：$|f(x_1)-A|<\frac{\varepsilon}{3}$，$|f(x_2)-A|<\frac{\varepsilon}{3}$，故 $|f(x_1)-f(x_2)|\le|f(x_1)-A|+|f(x_2)-A|<\frac{2\varepsilon}{3}<\varepsilon$。 3. 两点都在 $(M,+\infty)$ 内：同理得 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{2\varepsilon}{3}<\varepsilon$。 4. 一点在 $(-\infty,-M)$，另一点在 $[-M,M]$ 或更右：由于 $|x_1-x_2|<\delta\le1$，左边点 $<-M$，右边点必在 $[-M-1,-M]$ 内（否则距离 $\ge1$），故两点都在 $[-M-1,M+1]$ 内，由一致连续性得 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon$。 5. 一点在 $(M,+\infty)$，另一点在左边：同理，右边点 $>M$，左边点必在 $[M,M+1]$ 内，两点都在 $[-M-1,M+1]$ 内，得 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon$。

对所有情况，我们都找到了一个统一的 $\delta>0$（只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置），使得任意两点距离小于 $\delta$ 时函数值差小于 $\varepsilon$。因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。