陕西师范大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2．（15 分）数列
$$
a_{1}=2, a_{2}=2+\frac{1}{2}, a_{3}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}, a_{4}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}, \cdots
$$
问数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是否收敛？说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立递推关系
观察数列的构造规律，从第二项开始，每一项都可以表示为 $2$ 加上一个分数，而该分数的分母恰好是前一项。因此，数列满足递推关系：
$$a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 2 + \frac{1}{a_n}$$
公式：$$a_{n+1} = 2 + \frac{1}{a_n}$$
提示：注意验证递推关系对前几项成立，例如 $a_2 = 2 + \frac{1}{2}$，$a_3 = 2 + \frac{1}{2+\frac{1}{2}}$，符合递推式。
步骤 2/5
目标：求可能的不动点（极限候选值）
假设数列收敛，设极限为 $L$，则对递推关系两边取极限得 $L = 2 + \frac{1}{L}$。两边乘以 $L$ 得到 $L^2 = 2L + 1$，即 $L^2 - 2L - 1 = 0$。解此二次方程得 $L = 1 \pm \sqrt{2}$。由于所有项均大于 $2$，故取正根 $L = 1 + \sqrt{2}$。
公式：$$L = 2 + \frac{1}{L} \Rightarrow L^2 - 2L - 1 = 0 \Rightarrow L = 1 + \sqrt{2}$$
提示：不动点方程是分析递推数列收敛性的关键，但需要先证明收敛性才能使用。
步骤 3/5
目标：证明数列有界
首先，显然 $a_1 = 2 > 0$。假设 $a_n > 0$，则 $a_{n+1} = 2 + \frac{1}{a_n} > 2$。由数学归纳法知，对所有 $n$，$a_n > 2$。同时，$a_{n+1} = 2 + \frac{1}{a_n} < 2 + \frac{1}{2} = 2.5$，因此数列有界：$2 < a_n < 2.5$。
公式：$$2 < a_n < 2.5, \quad \forall n \in \mathbb{N}$$
提示：有界性是收敛的必要条件，这里通过递推直接得到上下界。
步骤 4/5
目标：利用压缩映射证明收敛
考虑 $a_{n+1}$ 与极限 $L = 1+\sqrt{2}$ 的误差：
$$
|a_{n+1} - L| = \left| 2 + \frac{1}{a_n} - \left(2 + \frac{1}{L}\right) \right| = \left| \frac{1}{a_n} - \frac{1}{L} \right| = \frac{|L - a_n|}{a_n L}
$$
由于 $a_n > 2$ 且 $L > 2$，所以 $a_n L > 4$，从而
$$
|a_{n+1} - L| < \frac{1}{4} |a_n - L|
$$
这是一个压缩因子为 $\frac{1}{4}$ 的压缩映射，因此数列收敛到 $L$。
公式：$$|a_{n+1} - L| < \frac{1}{4} |a_n - L|$$
提示：压缩映射是证明递推数列收敛的常用方法，关键在于找到压缩因子并验证其小于1。
步骤 5/5
目标：得出结论
由压缩映射原理，数列 $\{a_n\}$ 收敛，且极限为 $L = 1 + \sqrt{2}$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} a_n = 1 + \sqrt{2}$$
提示：注意，虽然数列不是单调的，但通过误差递推仍可证明其收敛。
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