陕西师范大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3．（15 分）已知
$$
f(x)= \begin{cases}(x-1)^{3} \cos \frac{1}{x}, & x<1 \\ a, & x=1 \\ e^{b(x-1)}+c, & x>1\end{cases}
$$
问：$\displaystyle a, b, c$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处可导，并计算 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定函数在 x=1 处可导的必要条件：连续性
函数在 $x=1$ 处可导，则必先在该点连续。连续性要求左极限、函数值、右极限三者相等。
公式：$$\lim_{x\to 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x\to 1^+} f(x)$$
提示：不要忘记函数值 $f(1)=a$ 也要参与等式。
步骤 2/7
目标：计算左极限并利用连续性得到 a 与 c 的关系
当 $x\to 1^-$ 时，$(x-1)^3 \to 0$，而 $\cos\frac{1}{x}$ 有界，故左极限为 $0$。当 $x\to 1^+$ 时，$e^{b(x-1)}+c \to e^0 + c = 1+c$。由连续性得：$0 = a = 1+c$。
公式：$$\lim_{x\to 1^-} (x-1)^3 \cos\frac{1}{x} = 0, \quad \lim_{x\to 1^+} \left[e^{b(x-1)}+c\right] = 1+c$$
提示：有界函数乘以无穷小仍为无穷小，这是求左极限的关键。
步骤 3/7
目标：得出 a 和 c 的值
由 $0 = a$ 得 $a=0$；由 $0 = 1+c$ 得 $c=-1$。
公式：$$a = 0, \quad c = -1$$
提示：此时函数在 $x=1$ 处连续的条件已满足。
步骤 4/7
目标：利用导数定义计算左导数
左导数定义为 $f'_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$。代入 $f(x)=(x-1)^3\cos\frac{1}{x}$ 和 $f(1)=0$，得 $\lim_{x\to 1^-} (x-1)^2 \cos\frac{1}{x}$。由于 $(x-1)^2\to 0$，$\cos\frac{1}{x}$ 有界，故极限为 $0$。
公式：$$f'_-(1) = \lim_{x\to 1^-} \frac{(x-1)^3 \cos\frac{1}{x} - 0}{x-1} = \lim_{x\to 1^-} (x-1)^2 \cos\frac{1}{x} = 0$$
提示：注意约分后仍是有界函数乘以无穷小，极限为0。
步骤 5/7
目标：利用导数定义计算右导数
右导数定义为 $f'_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$。代入 $f(x)=e^{b(x-1)}+c$ 和 $f(1)=a=0$，并利用 $c=-1$，得 $\lim_{x\to 1^+} \frac{e^{b(x-1)}-1}{x-1}$。令 $u=b(x-1)$，则当 $x\to 1^+$ 时 $u\to 0$，极限化为 $b \cdot \lim_{u\to 0} \frac{e^u-1}{u} = b \cdot 1 = b$。
公式：$$f'_+(1) = \lim_{x\to 1^+} \frac{e^{b(x-1)}-1}{x-1} = b$$
提示：这里使用了重要极限 $\lim_{u\to 0} \frac{e^u-1}{u}=1$，注意分子是 $e^{b(x-1)}-1$，不是 $e^{x-1}-1$。
步骤 6/7
目标：由左右导数相等确定 b 的值
可导要求左右导数相等，即 $f'_-(1) = f'_+(1)$，代入得 $0 = b$。
公式：$$0 = b$$
提示：左导数已求得为0，因此 b 必须为0。
步骤 7/7
目标：总结参数值并计算导数
由以上步骤得 $a=0$, $b=0$, $c=-1$。此时左右导数均为0，故 $f'(1)=0$。
公式：$$a=0,\ b=0,\ c=-1,\ f'(1)=0$$
提示：检查：当 b=0 时，右支函数变为常数 $e^0-1=0$，与左支在 x=1 处光滑连接。
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