陕西师范大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．（15 分）已知 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x+2 y+3 z=e^{z}$ 确定的隐函数，计算 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求一阶偏导数 ∂z/∂x
对方程 $x+2y+3z=e^z$ 两边关于 $x$ 求偏导，将 $y$ 视为常数，$z$ 视为 $x$ 的函数：
$$\frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial x}(2y) + \frac{\partial}{\partial x}(3z) = \frac{\partial}{\partial x}(e^z)$$
得到：
$$1 + 0 + 3\frac{\partial z}{\partial x} = e^z \frac{\partial z}{\partial x}$$
移项整理：
$$1 = (e^z - 3)\frac{\partial z}{\partial x}$$
解得：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{e^z - 3}$$
公式：∂z/∂x = 1/(e^z - 3)
提示：注意对 e^z 求导时要用链式法则，乘以 ∂z/∂x。
步骤 2/4
目标：求一阶偏导数 ∂z/∂y
对方程 $x+2y+3z=e^z$ 两边关于 $y$ 求偏导，将 $x$ 视为常数，$z$ 视为 $y$ 的函数：
$$\frac{\partial}{\partial y}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(2y) + \frac{\partial}{\partial y}(3z) = \frac{\partial}{\partial y}(e^z)$$
得到：
$$0 + 2 + 3\frac{\partial z}{\partial y} = e^z \frac{\partial z}{\partial y}$$
移项整理：
$$2 = (e^z - 3)\frac{\partial z}{\partial y}$$
解得：
$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2}{e^z - 3}$$
公式：∂z/∂y = 2/(e^z - 3)
提示：注意常数 2y 对 y 求导得 2，不要遗漏。
步骤 3/4
目标：求二阶偏导数 ∂²z/∂x²
对 $\frac{\partial z}{\partial x} = (e^z - 3)^{-1}$ 再关于 $x$ 求偏导，使用链式法则：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = - (e^z - 3)^{-2} \cdot e^z \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$$
代入 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{e^z - 3}$：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{e^z}{(e^z - 3)^2} \cdot \frac{1}{e^z - 3} = -\frac{e^z}{(e^z - 3)^3}$$
公式：∂²z/∂x² = -e^z/(e^z - 3)^3
提示：求导时注意 (e^z - 3) 的导数仍是 e^z·∂z/∂x，不要忘记因子 ∂z/∂x。
步骤 4/4
目标：求混合偏导数 ∂²z/∂y∂x
对 $\frac{\partial z}{\partial x} = (e^z - 3)^{-1}$ 关于 $y$ 求偏导，使用链式法则：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = - (e^z - 3)^{-2} \cdot e^z \cdot \frac{\partial z}{\partial y}$$
代入 $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2}{e^z - 3}$：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -\frac{e^z}{(e^z - 3)^2} \cdot \frac{2}{e^z - 3} = -\frac{2e^z}{(e^z - 3)^3}$$
公式：∂²z/∂y∂x = -2e^z/(e^z - 3)^3
提示：混合偏导顺序不影响结果，但本题中先对 x 再对 y 求导与先 y 后 x 结果相同。
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