陕西师范大学 2024年数学分析第5题

抛物线方程为 $y^2 = p x$ 和 $y^2 = q x$，其中 $0 < p < q$，开口向右，顶点在原点。双曲线方程为 $xy = a$ 和 $xy = b$，其中 $0 < a < b$，为等轴双曲线。由于抛物线要求 $x \ge 0$，区域 $D$ 位于第一象限，由这四条曲线围成。

求 $y^2 = p x$ 与 $xy = a$ 的交点：由 $xy = a$ 得 $x = a/y$，代入 $y^2 = p \cdot (a/y)$ 得 $y^3 = p a$，故 $y = (p a)^{1/3}$，$x = a/y = (a^2/p)^{1/3}$。类似地： - $y^2 = p x$ 与 $xy = b$：$y = (p b)^{1/3}$，$x = (b^2/p)^{1/3}$； - $y^2 = q x$ 与 $xy = a$：$y = (q a)^{1/3}$，$x = (a^2/q)^{1/3}$； - $y^2 = q x$ 与 $xy = b$：$y = (q b)^{1/3}$，$x = (b^2/q)^{1/3}$。

观察曲线形式，抛物线族为 $y^2/x = \text{常数}$，双曲线族为 $xy = \text{常数}$。令 $u = y^2/x$，$v = xy$，则 $u \in [p, q]$，$v \in [a, b]$。由 $u v = y^3$ 得 $y = (u v)^{1/3}$，再由 $v = x y$ 得 $x = v / y = u^{-1/3} v^{2/3}$。

计算偏导数： $\frac{\partial x}{\partial u} = -\frac{1}{3} u^{-4/3} v^{2/3}$，$\frac{\partial x}{\partial v} = \frac{2}{3} u^{-1/3} v^{-1/3}$； $\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{3} u^{-2/3} v^{1/3}$，$\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{1}{3} u^{1/3} v^{-2/3}$。 雅可比行列式： $J = \begin{vmatrix} -\frac{1}{3} u^{-4/3} v^{2/3} & \frac{2}{3} u^{-1/3} v^{-1/3} \\ \frac{1}{3} u^{-2/3} v^{1/3} & \frac{1}{3} u^{1/3} v^{-2/3} \end{vmatrix} = -\frac{1}{9u} - \frac{2}{9u} = -\frac{1}{3u}$。取绝对值得 $|J| = \frac{1}{3u}$。

面积 $S = \iint_D dx\,dy = \int_{v=a}^{b} \int_{u=p}^{q} \frac{1}{3u} \, du\, dv$。先对 $u$ 积分：$\int_{p}^{q} \frac{1}{3u} du = \frac{1}{3} \ln\frac{q}{p}$。再对 $v$ 积分：$\int_{a}^{b} \frac{1}{3} \ln\frac{q}{p} \, dv = \frac{1}{3} \ln\frac{q}{p} \cdot (b-a)$。