陕西师范大学 2024年数学分析第6题
📝 题目
6．（15 分）计算
$$
\iint_{\Sigma} \frac{(x+y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 的外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简被积函数的分母
在曲面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=a^2$ 上，有 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=a$ 为常数，因此原积分化为：
$$
\iint_{\Sigma} \frac{(x+y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} = \frac{1}{a} \iint_{\Sigma} (x+y) \, dy\,dz + y \, dz\,dx + 2z \, dx\,dy
$$
公式：$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=a$
提示：注意曲面方程代入化简分母，这是处理曲面积分时的常用技巧。
步骤 2/5
目标：将第二类曲面积分转化为向量形式
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，其中 $P = x+y$（对应 $dy\,dz$），$Q = y$（对应 $dz\,dx$），$R = 2z$（对应 $dx\,dy$）。则积分可写为：
$$
\frac{1}{a} \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
$$
其中 $d\mathbf{S}$ 的方向取曲面外侧的法向。
公式：$\mathbf{F} = (x+y, y, 2z)$
提示：第二类曲面积分与向量点积的对应关系：$P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$。
步骤 3/5
目标：应用高斯散度定理
高斯散度定理将曲面积分转化为体积分：
$$
\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV
$$
其中 $V$ 是球体 $x^2+y^2+z^2 \le a^2$。计算散度：
$$
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x+y) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z) = 1 + 1 + 2 = 4
$$
因此：
$$
\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} 4 \, dV
$$
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F} = 4$
提示：高斯定理要求曲面封闭且取外侧，本题满足条件。注意散度计算要逐项求偏导。
步骤 4/5
目标：计算体积分
半径为 $a$ 的球体体积为 $\frac{4}{3}\pi a^3$，因此：
$$
\iiint_{V} 4 \, dV = 4 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 = \frac{16}{3}\pi a^3
$$
公式：$V_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi a^3$
提示：常数乘以体积，注意体积公式不要记错。
步骤 5/5
目标：乘以系数得到最终结果
原积分等于前面化简得到的系数 $\frac{1}{a}$ 乘以高斯定理的结果：
$$
\frac{1}{a} \cdot \frac{16}{3}\pi a^3 = \frac{16}{3}\pi a^2
$$
公式：$\frac{1}{a} \times \frac{16}{3}\pi a^3 = \frac{16}{3}\pi a^2$
提示：注意系数 $a$ 的约分，最终结果不含 $a$ 的一次项。
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