陕西师范大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8．（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n} x^{n}$ 的收敛域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定幂级数的通项并求收敛半径
幂级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n} x^{n}$，通项系数 $a_n = \frac{\ln(n+1)}{n}$。使用比值审敛法求收敛半径：计算极限 $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n+2)}{n+1} \cdot \frac{n}{\ln(n+1)}$。由于 $\frac{n}{n+1} \to 1$，且 $\frac{\ln(n+2)}{\ln(n+1)} \to 1$（因为 $\ln(n+2) \sim \ln n$，$\ln(n+1) \sim \ln n$），故极限为 $1$，因此收敛半径 $R = 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1$，$R = 1$
提示：比值审敛法极限为1时，收敛半径等于1，但需注意端点单独判断。
步骤 2/4
目标：检查右端点 x=1 处的收敛性
当 $x=1$ 时，级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n+1)}{n}$。由于 $\ln(n+1) > 1$ 对 $n \ge 2$ 成立，故通项 $\frac{\ln(n+1)}{n} > \frac{1}{n}$，而调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，由比较判别法知原级数发散。因此 $x=1$ 不在收敛域内。
公式：$\frac{\ln(n+1)}{n} > \frac{1}{n}$，$\sum \frac{1}{n}$ 发散
提示：比较判别法需确保不等式方向正确，且对足够大的n成立。
步骤 3/4
目标：检查左端点 x=-1 处的收敛性
当 $x=-1$ 时，级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n+1)}{n} (-1)^n$，为交错级数。令 $b_n = \frac{\ln(n+1)}{n}$，验证莱布尼茨判别法条件：① $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$（因为对数增长慢于线性）；② $b_n$ 单调递减（考虑函数 $f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x}$，当 $x\ge 1$ 时导数 $f'(x)=\frac{\frac{x}{x+1}-\ln(x+1)}{x^2}<0$ 对足够大的 $x$ 成立，且前几项数值验证递减）。故级数在 $x=-1$ 条件收敛。
公式：$b_n = \frac{\ln(n+1)}{n}$，$\lim_{n\to\infty} b_n = 0$，$b_n$ 递减
提示：莱布尼茨判别法要求单调递减且趋于0，单调性可通过导数或前后项比较验证。
步骤 4/4
目标：综合端点结论，写出收敛域
收敛半径 $R=1$，左端点 $x=-1$ 收敛，右端点 $x=1$ 发散，因此收敛域为 $[-1, 1)$。
公式：$\text{收敛域} = [-1, 1)$
提示：注意区间端点的开闭：左闭右开。
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