陕西师范大学 2024年数学分析第9题
📝 题目
9．（15 分）设三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle D=\{(x, y, z) \mid x+y+z \leq 1\}$ 上可微，且 $\displaystyle \forall(x, y, z) \in D$ ，有
$$
\left|f_{x}(x, y, z)\right| \leq 1,\left|f_{y}(x, y, z)\right| \leq 2,\left|f_{z}(x, y, z)\right| \leq 3
$$
证明：$\displaystyle \forall\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \in D$ ，有
$$
\left|f\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)-f\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\right| \leq\left|x_{2}-x_{1}\right|+2\left|y_{2}-y_{1}\right|+3\left|z_{2}-z_{1}\right|
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题目条件和目标
已知区域 $D = \{ (x,y,z) \mid x+y+z \leq 1 \}$，函数 $f$ 在 $D$ 上可微，且偏导数满足 $|f_x| \le 1,\ |f_y| \le 2,\ |f_z| \le 3$。要证明对于任意两点 $(x_1,y_1,z_1)$ 和 $(x_2,y_2,z_2)$ 在 $D$ 中，有 $|f(x_2,y_2,z_2)-f(x_1,y_1,z_1)| \le |x_2-x_1| + 2|y_2-y_1| + 3|z_2-z_1|$。
公式：|f_x| \le 1,\ |f_y| \le 2,\ |f_z| \le 3
提示：注意区域 $D$ 是凸集，这保证连接两点的线段完全在 $D$ 内。
步骤 2/4
目标：构造辅助函数并应用微分中值定理
令 $\mathbf{a} = (x_1,y_1,z_1),\ \mathbf{b} = (x_2,y_2,z_2)$。定义参数化路径 $\mathbf{r}(t) = \mathbf{a} + t(\mathbf{b}-\mathbf{a}),\ t\in[0,1]$。由于 $D$ 是凸集，整条线段在 $D$ 内。考虑一元函数 $g(t) = f(\mathbf{r}(t))$，由链式法则得 $g'(t) = f_x(\mathbf{r}(t))(x_2-x_1) + f_y(\mathbf{r}(t))(y_2-y_1) + f_z(\mathbf{r}(t))(z_2-z_1)$。由拉格朗日中值定理，存在 $\theta \in (0,1)$ 使得 $g(1)-g(0) = g'(\theta)$，即 $f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a}) = f_x(\mathbf{r}(\theta))(x_2-x_1) + f_y(\mathbf{r}(\theta))(y_2-y_1) + f_z(\mathbf{r}(\theta))(z_2-z_1)$。
公式：g'(t) = f_x(\mathbf{r}(t))(x_2-x_1) + f_y(\mathbf{r}(t))(y_2-y_1) + f_z(\mathbf{r}(t))(z_2-z_1)
提示：确保 $\mathbf{r}(t)$ 在 $D$ 内，否则中值定理不适用。这里凸性保证了这一点。
步骤 3/4
目标：取绝对值并利用偏导数的界
对等式两边取绝对值，并用三角不等式：$|f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a})| \le |f_x(\mathbf{r}(\theta))|\,|x_2-x_1| + |f_y(\mathbf{r}(\theta))|\,|y_2-y_1| + |f_z(\mathbf{r}(\theta))|\,|z_2-z_1|$。代入已知偏导数的界 $|f_x| \le 1,\ |f_y| \le 2,\ |f_z| \le 3$，得到 $|f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a})| \le 1\cdot|x_2-x_1| + 2\cdot|y_2-y_1| + 3\cdot|z_2-z_1|$。
公式：|f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a})| \le |f_x|\,|x_2-x_1| + |f_y|\,|y_2-y_1| + |f_z|\,|z_2-z_1|
提示：三角不等式是放缩的关键，注意绝对值与乘积的顺序。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，对任意两点 $(x_1,y_1,z_1)$ 和 $(x_2,y_2,z_2)$ 在 $D$ 中，不等式 $|f(x_2,y_2,z_2)-f(x_1,y_1,z_1)| \le |x_2-x_1| + 2|y_2-y_1| + 3|z_2-z_1|$ 成立。
公式：|f(x_2,y_2,z_2)-f(x_1,y_1,z_1)| \leq |x_2-x_1|+2|y_2-y_1|+3|z_2-z_1|
提示：最终不等式与偏导数的界系数一致，注意系数对应关系。
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