陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求函数 $\displaystyle \frac{1}{x^{2}+3 x+2}$ 在 $x=-4$ 处的幂级数展开式和收玫域．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：因式分解分母并拆分为部分分式
分母为 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$，因此 $f(x)=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$。设 $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$，通分后比较分子得 $1=A(x+2)+B(x+1)$。令 $x=-1$ 得 $A=1$，令 $x=-2$ 得 $B=-1$，所以 $f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$。
公式：$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$
提示：注意部分分式分解时，分母为一次因式乘积，系数可通过代入特殊值快速求得。
步骤 2/6
目标：将第一项改写为以 $x+4$ 为变量的形式
第一项 $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{(x+4)-3}$。提出 $-3$ 得 $\frac{1}{(x+4)-3}=-\frac{1}{3-(x+4)}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{x+4}{3}}$。
公式：$\frac{1}{x+1}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{x+4}{3}}$
提示：将分母写成 $a-(x+4)$ 的形式，再提取 $a$ 以使用几何级数公式。
步骤 3/6
目标：将第二项改写为以 $x+4$ 为变量的形式
第二项 $\frac{1}{x+2}=\frac{1}{(x+4)-2}$。提出 $-2$ 得 $\frac{1}{(x+4)-2}=-\frac{1}{2-(x+4)}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{x+4}{2}}$。
公式：$\frac{1}{x+2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{x+4}{2}}$
提示：注意符号处理，确保最终形式为 $\frac{1}{1-u}$。
步骤 4/6
目标：利用几何级数展开两个分式
对于第一项，当 $\left|\frac{x+4}{3}\right|<1$ 即 $|x+4|<3$ 时，$\frac{1}{x+1}=-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{x+4}{3}\right)^n=-\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+4)^n}{3^{n+1}}$。
对于第二项，当 $\left|\frac{x+4}{2}\right|<1$ 即 $|x+4|<2$ 时，$\frac{1}{x+2}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{x+4}{2}\right)^n=-\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+4)^n}{2^{n+1}}$。
公式：$\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^\infty u^n$，$|u|<1$
提示：几何级数展开时，注意首项为 $n=0$，且系数要正确提取。
步骤 5/6
目标：合并得到幂级数展开式
原函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$，代入展开式得：
$f(x)=\left[-\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+4)^n}{3^{n+1}}\right]-\left[-\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+4)^n}{2^{n+1}}\right]=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)(x+4)^n$。
公式：$\frac{1}{x^2+3x+2}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)(x+4)^n$
提示：注意两个负号相减变为正号，合并时系数不要写反。
步骤 6/6
目标：确定收敛域
第一项收敛条件 $|x+4|<3$，第二项收敛条件 $|x+4|<2$，取交集得 $|x+4|<2$。检查端点：
- $x=-2$ 时，原函数分母为零，发散。
- $x=-6$ 时，$(x+4)^n=(-2)^n$，通项为 $\left(\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)(-2)^n=\frac{(-1)^n}{2}-\frac{(-2)^n}{3^{n+1}}$，第一项不趋于0，级数发散。
因此收敛域为 $(-6,-2)$。
公式：$|x+4|<2$，即 $x\in(-6,-2)$
提示：收敛半径取较小者，端点需单独验证，注意原函数在 $x=-2$ 处无定义。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。