📝 陕西师范大学 2026年数学分析真题

1．求函数 $\displaystyle \frac{1}{x^{2}+3 x+2}$ 在 $x=-4$ 处的幂级数展开式和收玫域．

2．设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 e^{t}+t+1 \\ y=4(t-1) e^{t}+t^{2}\end{array}\right.$ 确定，计算 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

3．设 $f(x)$ 的一个原函数为 $F(x)>0$ ，且 $F(0)=1$ ，当 $x \geq 0$ 时，有 $f(x) F(x)=\sin ^{2} 2 x$ ，求 $f(x)$ ．

4．计算曲线积分

$$
\int_{L}\left[2\left(x^{2}-x\right) e^{2 x}-x y\right] \mathrm{d} x+\left[x^{2}-(y+2) e^{y}\right] \mathrm{d} y
$$

式中 $L$ 是从 $(0,0)$ 经曲线 $y=x^{2}-2 x$ 到点 $A(4,8)$ 的一段弧．

5．计算曲面积分

$$
\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}(R>0)$ 的上侧．

6．解答如下问题：
（1）讨论函数 $f(x)=(x-1)(x-2) D(x)$ 的连续点和间断点，并判断间断点的类型，其中 $D(x)$ 是狄利克雷函数

$$
D(x)= \begin{cases}1, & x \text { 为有理数 } ; \\ 0, & x \text { 为无理数. }\end{cases}
$$

（2）给出实数集 $\mathbb{R}$ 上只有 3 个连续点的函数．

7．利用交换积分次序计算 $\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y$ ．

8．讨论反常积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~d} x$ 的玫散性，若收敛，计算 $I$ 的值．

9．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，记 $F(x)=\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t$ ．
（1）求 $F^{\prime}(x)$ ．
（2）证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=-\xi f(\xi)$ ．
（3）证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $x_{0}$ ，使得 $2 f\left(x_{0}\right)+x_{0} f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ．

10．设 $a_{n}>0, b_{n}>0$ ，证明：
（1）若存在 $\alpha>0$ ，使得 $\displaystyle \frac{b_{n}}{b_{n+1}} a_{n}-a_{n+1} \geq \alpha(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫．
（2）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，且 $\displaystyle \frac{b_{n}}{b_{n+1}} a_{n}-a_{n+1} \leq 0(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散．

11．设 $x \geq 0, n$ 为正整数，$f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-t^{2}\right) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$ ，证明：$\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{(2 n+2)(2 n+3)}$ ．

12．设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的正值连续函数，且 $f(x)$ 单调递减，证明：

$$
\frac{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x} \leq \frac{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}
$$

13．设 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ ，其中 $x>0$ ，求证：
（1）函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
（2）和函数 $S(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续可导．

14．证明：若在区间 $I$ 上函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 一致收敛，且对每个正整数 $n, f_{n}(x)$ 都在区间 $I$ 上有界，则函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致有界。