陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
12．设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的正值连续函数，且 $f(x)$ 单调递减，证明：
$$
\frac{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x} \leq \frac{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原不等式等价转化为差值非负的形式
由于 $f(x)>0$，分母均大于零，原不等式等价于：
$$
\int_0^1 x f^2(x) \, dx \cdot \int_0^1 f(x) \, dx \le \int_0^1 f^2(x) \, dx \cdot \int_0^1 x f(x) \, dx
$$
移项构造差值：
$$
\Delta = \int_0^1 f^2(x) \, dx \cdot \int_0^1 x f(x) \, dx - \int_0^1 x f^2(x) \, dx \cdot \int_0^1 f(x) \, dx
$$
只需证明 $\Delta \ge 0$。
公式：\Delta = \int_0^1 f^2(x) \, dx \cdot \int_0^1 x f(x) \, dx - \int_0^1 x f^2(x) \, dx \cdot \int_0^1 f(x) \, dx
提示：注意分母为正，交叉相乘不等号方向不变。
步骤 2/5
目标：将差值转化为二重积分形式
将两个单积分乘积写成二重积分：
$$
\Delta = \int_0^1 \int_0^1 \big[ f^2(x) \cdot y f(y) - x f^2(x) \cdot f(y) \big] \, dy \, dx
$$
提取公因子 $f^2(x) f(y)$：
$$
\Delta = \iint_{[0,1]^2} f^2(x) f(y) (y - x) \, dx \, dy
$$
公式：\Delta = \iint_{[0,1]^2} f^2(x) f(y) (y - x) \, dx \, dy
提示：注意积分变量 $x$ 和 $y$ 是独立的，$\int_0^1 x f(x) \, dx$ 中的 $x$ 在二重积分中需用另一个变量表示。
步骤 3/5
目标：对称化处理，交换积分变量
交换 $x$ 与 $y$ 的角色，得到另一个表达式：
$$
\Delta = \iint_{[0,1]^2} f^2(y) f(x) (x - y) \, dx \, dy
$$
将两个表达式相加并除以2，得到对称形式：
$$
\Delta = \frac12 \iint_{[0,1]^2} \big[ f^2(x) f(y) (y - x) + f^2(y) f(x) (x - y) \big] \, dx \, dy
$$
整理得：
$$
\Delta = \frac12 \iint_{[0,1]^2} (y - x) \big[ f^2(x) f(y) - f^2(y) f(x) \big] \, dx \, dy
$$
公式：\Delta = \frac12 \iint_{[0,1]^2} (y - x) \big[ f^2(x) f(y) - f^2(y) f(x) \big] \, dx \, dy
提示：对称化是为了利用函数的单调性判断被积函数的符号。
步骤 4/5
目标：因式分解并利用单调性判断符号
括号内因式分解：
$$
f^2(x) f(y) - f^2(y) f(x) = f(x) f(y) \big( f(x) - f(y) \big)
$$
因此：
$$
\Delta = \frac12 \iint_{[0,1]^2} (y - x) f(x) f(y) \big( f(x) - f(y) \big) \, dx \, dy
$$
由于 $f$ 单调递减，当 $x < y$ 时，$y - x > 0$，$f(x) - f(y) \ge 0$，乘积非负；当 $x > y$ 时，$y - x < 0$，$f(x) - f(y) \le 0$，乘积仍非负。且 $f(x), f(y) > 0$，故被积函数在整个区域上非负。
公式：\Delta = \frac12 \iint_{[0,1]^2} (y - x) f(x) f(y) (f(x) - f(y)) \, dx \, dy
提示：关键点：$(y-x)$ 与 $(f(x)-f(y))$ 同号，因此乘积非负。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于被积函数非负，积分 $\Delta \ge 0$，即原不等式成立：
$$
\frac{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \, dx}{\int_{0}^{1} x f(x) \, dx} \leq \frac{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \, dx}{\int_{0}^{1} f(x) \, dx}
$$
等号成立当且仅当 $f(x)$ 为常数函数（此时 $f(x)-f(y)=0$ 几乎处处成立）。
公式：\Delta \ge 0 \Rightarrow \text{原不等式成立}
提示：等号成立条件：$f(x)$ 为常数，但题目未要求讨论，只需证明不等式。
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