陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
11．设 $x \geq 0, n$ 为正整数，$f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-t^{2}\right) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$ ，证明：$\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{(2 n+2)(2 n+3)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数的符号与函数单调性
考虑被积函数 $(t - t^2) \sin^{2n} t$。当 $t \in [0,1]$ 时，$t - t^2 = t(1-t) \ge 0$，且 $\sin^{2n} t \ge 0$，故被积函数非负；当 $t > 1$ 时，$t - t^2 < 0$，被积函数为负。由微积分基本定理，$f'(x) = (x - x^2) \sin^{2n} x$。当 $0 < x < 1$ 时，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 递增；当 $1 < x < \pi$ 时，$f'(x) < 0$，$f(x)$ 递减。因此 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最大值。
公式：f'(x) = (x - x^2) \sin^{2n} x
提示：注意 $\sin^{2n} x \ge 0$ 恒成立，符号由 $x-x^2$ 决定。
步骤 2/5
目标：将问题转化为证明 $f(1)$ 的不等式
由单调性分析，只需证明 $f(1) = \int_0^1 (t - t^2) \sin^{2n} t \, dt \le \frac{1}{(2n+2)(2n+3)}$ 即可。
公式：f(1) = \int_0^1 (t - t^2) \sin^{2n} t \, dt
提示：最大值点 $x=1$ 是关键，需确认 $x>1$ 时函数递减。
步骤 3/5
目标：利用不等式放缩被积函数
对于 $t \in [0,1]$，有 $\sin t \le t$，因此 $\sin^{2n} t \le t^{2n}$。代入得：
$$f(1) \le \int_0^1 (t - t^2) t^{2n} \, dt = \int_0^1 (t^{2n+1} - t^{2n+2}) \, dt.$$
公式：\sin^{2n} t \le t^{2n}, \quad t \in [0,1]
提示：注意 $\sin t \le t$ 在 $t \ge 0$ 时成立，且 $\sin^{2n} t$ 是偶函数，但此处区间非负。
步骤 4/5
目标：计算定积分得到上界
计算积分：
$$\int_0^1 t^{2n+1} \, dt = \frac{1}{2n+2}, \quad \int_0^1 t^{2n+2} \, dt = \frac{1}{2n+3}.$$
因此：
$$f(1) \le \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{2n+3} = \frac{1}{(2n+2)(2n+3)}.$$
公式：\frac{1}{2n+2} - \frac{1}{2n+3} = \frac{1}{(2n+2)(2n+3)}
提示：注意通分时分子相减得1，勿混淆分母乘积。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取最大值，且该最大值不超过 $\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}$，故对所有 $x \ge 0$ 有 $f(x) \le \frac{1}{(2n+2)(2n+3)}$。证毕。
公式：f(x) \le \frac{1}{(2n+2)(2n+3)}
提示：最终不等式对任意 $x \ge 0$ 成立，无需分区间讨论。
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