陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．计算曲线积分
$$
\int_{L}\left[2\left(x^{2}-x\right) e^{2 x}-x y\right] \mathrm{d} x+\left[x^{2}-(y+2) e^{y}\right] \mathrm{d} y
$$
式中 $L$ 是从 $(0,0)$ 经曲线 $y=x^{2}-2 x$ 到点 $A(4,8)$ 的一段弧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：检查是否为恰当微分或可用格林公式
设 $P(x,y) = 2(x^2 - x)e^{2x} - xy$，$Q(x,y) = x^2 - (y+2)e^y$。计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = -x$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x$。
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$，不是恰当微分，不能直接使用原函数法，需直接参数化计算。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y} = -x,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x$
提示：注意格林公式要求封闭曲线，此处为开弧，故直接参数化。
步骤 2/7
目标：参数化曲线
曲线为 $y = x^2 - 2x$，取参数 $t = x$，则 $t$ 从 $0$ 到 $4$。
$x = t$，$y = t^2 - 2t$，微分得 $dx = dt$，$dy = (2t - 2)dt$。
公式：$x = t,\quad y = t^2 - 2t,\quad t:0\to 4$
提示：注意参数化时需确保起点和终点对应正确：$(0,0)$ 对应 $t=0$，$(4,8)$ 对应 $t=4$。
步骤 3/7
目标：代入曲线积分并化简被积函数
原积分 $I = \int_L P\,dx + Q\,dy$ 化为：
$I = \int_0^4 \left[ P(t, t^2-2t) + Q(t, t^2-2t) \cdot (2t-2) \right] dt$。
计算：
$P = 2(t^2 - t)e^{2t} - t(t^2 - 2t) = 2(t^2 - t)e^{2t} - (t^3 - 2t^2)$，
$Q = t^2 - ((t^2-2t)+2)e^{t^2-2t} = t^2 - (t^2 - 2t + 2)e^{t^2-2t}$，
$Q\cdot(2t-2) = (t^2)(2t-2) - (t^2 - 2t + 2)(2t-2)e^{t^2-2t}$。
合并多项式部分：$- (t^3 - 2t^2) + (2t^3 - 2t^2) = t^3$，
得 $I = \int_0^4 \left[ 2(t^2 - t)e^{2t} + t^3 - (t^2 - 2t + 2)(2t-2)e^{t^2-2t} \right] dt$。
公式：$I = \int_0^4 \left[ 2(t^2 - t)e^{2t} + t^3 - (t^2 - 2t + 2)(2t-2)e^{t^2-2t} \right] dt$
提示：多项式合并时注意符号，避免计算错误。
步骤 4/7
目标：计算第一项积分 $\int_0^4 2(t^2 - t)e^{2t} dt$
使用分部积分：令 $u = t^2 - t$，$dv = 2e^{2t}dt$，则 $du = (2t-1)dt$，$v = e^{2t}$。
$\int_0^4 2(t^2 - t)e^{2t} dt = \left[(t^2 - t)e^{2t}\right]_0^4 - \int_0^4 (2t-1)e^{2t} dt$。
再计算 $\int (2t-1)e^{2t} dt$：令 $u=2t-1$，$dv=e^{2t}dt$，得 $\int (2t-1)e^{2t} dt = \frac{2t-1}{2}e^{2t} - \frac{1}{2}e^{2t} = (t-1)e^{2t}$。
因此第一项为 $\left[(t^2 - t)e^{2t}\right]_0^4 - \left[(t-1)e^{2t}\right]_0^4$。
代入上下限：$t=4$ 时，$(16-4)e^8 - 3e^8 = 9e^8$；$t=0$ 时，$0 - (-1) = 1$，故结果为 $9e^8 - 1$。
公式：$\int_0^4 2(t^2 - t)e^{2t} dt = 9e^8 - 1$
提示：分部积分时注意符号，代入下限时需小心处理负号。
步骤 5/7
目标：计算第二项积分 $\int_0^4 t^3 dt$
直接积分：$\int_0^4 t^3 dt = \left[\frac{t^4}{4}\right]_0^4 = \frac{256}{4} = 64$。
公式：$\int_0^4 t^3 dt = 64$
提示：幂函数积分公式直接应用，注意上下限代入。
步骤 6/7
目标：计算第三项积分 $-\int_0^4 (t^2 - 2t + 2)(2t-2)e^{t^2-2t} dt$
令 $u = t^2 - 2t$，则 $du = (2t-2)dt$，且 $t^2 - 2t + 2 = u + 2$。
当 $t=0$ 时 $u=0$，$t=4$ 时 $u=8$。积分化为：
$-\int_0^8 (u+2)e^u du$。
计算 $\int (u+2)e^u du = (u+2)e^u - \int e^u du = (u+2)e^u - e^u = (u+1)e^u$。
代入上下限：$(8+1)e^8 - (0+1)e^0 = 9e^8 - 1$，加上负号得 $-9e^8 + 1$。
公式：$-\int_0^4 (t^2 - 2t + 2)(2t-2)e^{t^2-2t} dt = -9e^8 + 1$
提示：换元时注意积分限的对应变化，且 $du$ 恰好匹配被积函数中的 $(2t-2)dt$。
步骤 7/7
目标：求和得到最终结果
将三项积分相加：
第一项：$9e^8 - 1$，
第二项：$64$，
第三项：$-9e^8 + 1$。
总和为 $(9e^8 - 1) + 64 + (-9e^8 + 1) = 64$。
公式：$I = 64$
提示：注意 $e^8$ 项相互抵消，最终结果为常数。
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