陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
13．设 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ ，其中 $x>0$ ，求证：
（1）函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
（2）和函数 $S(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续可导．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析级数通项，定义余项，为证明不一致收敛做准备
考虑函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$，其通项为 $u_n(x)=n e^{-n x}$。要证明该级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛，只需证明存在某个 $\varepsilon_0>0$，使得对任意 $N \in \mathbb{N}$，都存在 $m>N$ 和 $x>0$，满足余项 $R_m(x)=\sum_{n=m+1}^{\infty} n e^{-n x} \ge \varepsilon_0$。
公式：$R_m(x)=\sum_{n=m+1}^{\infty} n e^{-n x}$
提示：不一致收敛的常用否定方法是：找到一列 $x_m$ 使得余项 $R_m(x_m)$ 不趋于零。
步骤 2/6
目标：构造特殊点 $x=1/m$，估计余项下界
取 $x = \frac{1}{m}$，考虑 $n$ 从 $m+1$ 到 $2m$ 的项。当 $n \le 2m$ 时，$e^{-n/m} \ge e^{-2}$，且 $n \ge m$，因此 $n e^{-n/m} \ge m e^{-2}$。于是这 $m$ 项的和至少为 $m \cdot (m e^{-2}) = m^2 e^{-2}$。故余项 $R_m(1/m) \ge m^2 e^{-2} \to +\infty$（当 $m \to \infty$）。
公式：$R_m\left(\frac{1}{m}\right) \ge m^2 e^{-2}$
提示：注意 $x$ 依赖于 $m$，这是证明不一致收敛的关键技巧。
步骤 3/6
目标：由余项非一致趋于零得证不一致收敛
由上述估计，对任意 $N$，取 $m > N$，则 $R_m(1/m) \ge m^2 e^{-2} > 1$（当 $m$ 充分大时）。因此级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$\limsup_{m\to\infty} R_m(1/m) = +\infty$
提示：不一致收敛并不影响逐点收敛性，这里对每个固定的 $x>0$ 级数仍是收敛的。
步骤 4/6
目标：证明和函数 $S(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续
对任意固定的 $x_0>0$，考虑区间 $[x_0, +\infty)$。在该区间上，$|n e^{-n x}| \le n e^{-n x_0}$，而数项级数 $\sum n e^{-n x_0}$ 收敛（由比值判别法或根值判别法）。由 Weierstrass M-判别法，原级数在 $[x_0,+\infty)$ 上一致收敛。由于每项 $n e^{-n x}$ 连续，故和函数 $S(x)$ 在 $[x_0,+\infty)$ 上连续。由 $x_0>0$ 的任意性，$S(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x_0} < \infty$
提示：注意 $x_0$ 是任意正数，因此连续性可以推广到整个 $(0,+\infty)$。
步骤 5/6
目标：形式求导并证明导函数级数一致收敛
逐项求导得 $S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d}{dx}(n e^{-n x}) = \sum_{n=1}^{\infty} (-n^2 e^{-n x})$。对任意 $x_0>0$，在 $[x_0,+\infty)$ 上，$| -n^2 e^{-n x} | \le n^2 e^{-n x_0}$，而 $\sum n^2 e^{-n x_0}$ 收敛（指数衰减快于任何多项式增长）。由 Weierstrass M-判别法，求导后的级数在 $[x_0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 e^{-n x_0} < \infty$
提示：验证 $\sum n^2 e^{-n x_0}$ 收敛可用比值判别法：$\frac{(n+1)^2 e^{-(n+1)x_0}}{n^2 e^{-n x_0}} \to e^{-x_0} < 1$。
步骤 6/6
目标：由一致收敛性得到 $S(x)$ 连续可导
由于求导后的级数在 $[x_0,+\infty)$ 上一致收敛，且原级数在 $[x_0,+\infty)$ 上收敛（每项可导），根据函数项级数逐项求导定理，$S(x)$ 在 $[x_0,+\infty)$ 上可导，且 $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-n^2 e^{-n x})$。又因为每项连续且一致收敛，$S'(x)$ 在 $[x_0,+\infty)$ 上连续。由 $x_0>0$ 的任意性，$S(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续可导。
公式：$S'(x) = -\sum_{n=1}^{\infty} n^2 e^{-n x}$
提示：逐项求导的条件是：原级数在某点收敛，导函数级数一致收敛。这里对任意 $x_0>0$ 都成立。
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