陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
10．设 $a_{n}>0, b_{n}>0$ ，证明：
（1）若存在 $\alpha>0$ ，使得 $\displaystyle \frac{b_{n}}{b_{n+1}} a_{n}-a_{n+1} \geq \alpha(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫．
（2）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，且 $\displaystyle \frac{b_{n}}{b_{n+1}} a_{n}-a_{n+1} \leq 0(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：改写条件不等式，得到递推关系
由条件 $\frac{b_n}{b_{n+1}} a_n - a_{n+1} \geq \alpha$，移项得 $\frac{b_n}{b_{n+1}} a_n \geq a_{n+1} + \alpha$。两边乘以正数 $b_{n+1}$，得到 $b_n a_n \geq b_{n+1} a_{n+1} + \alpha b_{n+1}$。
公式：$b_n a_n \geq b_{n+1} a_{n+1} + \alpha b_{n+1}$
提示：注意所有项均为正数，乘法不改变不等号方向。
步骤 2/7
目标：构造单调递减数列并证明其有界
令 $c_n = b_n a_n$，则不等式化为 $c_n \geq c_{n+1} + \alpha b_{n+1}$。由于 $\alpha b_{n+1} > 0$，有 $c_n > c_{n+1}$，故 $\{c_n\}$ 严格递减。又 $c_n > 0$，所以 $\{c_n\}$ 单调递减且有下界 $0$，极限存在，记为 $L \geq 0$。
公式：$c_n \geq c_{n+1} + \alpha b_{n+1}$
提示：单调递减有下界是极限存在的充分条件，这里下界为0。
步骤 3/7
目标：利用裂项求和得到部分和上界
对不等式 $c_n - c_{n+1} \geq \alpha b_{n+1}$ 从 $n=1$ 到 $N$ 求和：$\sum_{n=1}^N (c_n - c_{n+1}) \geq \alpha \sum_{n=1}^N b_{n+1}$。左边为 telescoping sum：$c_1 - c_{N+1} \geq \alpha \sum_{n=2}^{N+1} b_n$。由于 $c_{N+1} \geq 0$，得 $c_1 \geq \alpha \sum_{n=2}^{N+1} b_n$。
公式：$c_1 \geq \alpha \sum_{n=2}^{N+1} b_n$
提示：裂项求和时注意下标从2开始，但级数收敛性不受有限项影响。
步骤 4/7
目标：由部分和有界推出级数收敛
由 $c_1 \geq \alpha \sum_{n=2}^{N+1} b_n$ 知，部分和 $S_{N+1} = \sum_{n=1}^{N+1} b_n$ 满足 $S_{N+1} \leq b_1 + \frac{c_1}{\alpha}$，即部分和有上界。又 $b_n > 0$，部分和单调递增，故极限存在，级数 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛
提示：正项级数部分和有上界等价于收敛。
步骤 5/7
目标：证明（2）：改写条件不等式得到单调递增数列
由条件 $\frac{b_n}{b_{n+1}} a_n - a_{n+1} \leq 0$，移项得 $\frac{b_n}{b_{n+1}} a_n \leq a_{n+1}$。两边乘以 $b_{n+1} > 0$，得 $b_n a_n \leq b_{n+1} a_{n+1}$。令 $c_n = b_n a_n$，则 $c_n \leq c_{n+1}$，故 $\{c_n\}$ 单调递增。
公式：$b_n a_n \leq b_{n+1} a_{n+1}$
提示：注意不等号方向与（1）相反，导致单调性不同。
步骤 6/7
目标：利用单调递增性得到 $b_n$ 的下界
由于 $\{c_n\}$ 单调递增且 $c_1 = b_1 a_1 > 0$，有 $c_n \geq c_1$，即 $b_n a_n \geq b_1 a_1$。因此 $b_n \geq \frac{b_1 a_1}{a_n}$。记常数 $C = b_1 a_1 > 0$，则 $b_n \geq \frac{C}{a_n}$。
公式：$b_n \geq \frac{C}{a_n}$
提示：下界必须为正数，这里 $C>0$ 保证了比较判别法的有效性。
步骤 7/7
目标：应用比较判别法证明级数发散
已知 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}$ 发散，且 $b_n \geq \frac{C}{a_n}$（$C>0$）。由比较判别法，若一个正项级数发散，则其同阶或更大的正项级数也发散。因此 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 发散。
公式：$\sum_{n=1}^\infty b_n$ 发散
提示：比较判别法要求被比较的级数发散且不等式方向正确，这里 $b_n$ 更大所以发散。
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