陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $f(x)$ 的一个原函数为 $F(x)>0$ ，且 $F(0)=1$ ，当 $x \geq 0$ 时，有 $f(x) F(x)=\sin ^{2} 2 x$ ，求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解原函数与函数关系
已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，因此 $F'(x) = f(x)$。题目还给出 $f(x)F(x) = \sin^2(2x)$，且 $F(x) > 0$，$F(0) = 1$。
公式：F'(x) = f(x), \quad f(x)F(x) = \sin^2(2x)
提示：注意原函数的定义：$F'(x)=f(x)$，不要混淆。
步骤 2/7
目标：转化为关于 $F(x)$ 的微分方程
将 $f(x) = F'(x)$ 代入乘积关系得 $F'(x) \cdot F(x) = \sin^2(2x)$。左边是 $\frac{1}{2} \frac{d}{dx}[F(x)^2]$，因此方程化为 $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}F(x)^2\right) = \sin^2(2x)$。
公式：F'(x)F(x) = \sin^2(2x), \quad \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}F(x)^2\right) = \sin^2(2x)
提示：识别 $F F'$ 是 $\frac{1}{2}(F^2)'$ 是关键步骤。
步骤 3/7
目标：两边积分并利用初始条件
对 $x$ 从 $0$ 到 $x$ 积分：$\frac{1}{2}F(x)^2 - \frac{1}{2}F(0)^2 = \int_0^x \sin^2(2t) \, dt$。代入 $F(0)=1$ 得 $\frac{1}{2}[F(x)^2 - 1] = \int_0^x \sin^2(2t) \, dt$。
公式：\frac{1}{2}[F(x)^2 - 1] = \int_0^x \sin^2(2t) \, dt
提示：积分时注意下限对应初始条件，不要忘记常数项。
步骤 4/7
目标：计算右侧积分
利用恒等式 $\sin^2(2t) = \frac{1 - \cos(4t)}{2}$，积分得 $\int_0^x \frac{1 - \cos(4t)}{2} dt = \frac{1}{2}\left[t - \frac{\sin(4t)}{4}\right]_0^x = \frac{x}{2} - \frac{\sin(4x)}{8}$。
公式：\sin^2(2t) = \frac{1 - \cos(4t)}{2}, \quad \int_0^x \sin^2(2t) dt = \frac{x}{2} - \frac{\sin(4x)}{8}
提示：注意倍角公式的正确使用，积分后代入上下限要仔细。
步骤 5/7
目标：解出 $F(x)$ 的表达式
代入积分结果：$\frac{1}{2}[F(x)^2 - 1] = \frac{x}{2} - \frac{\sin(4x)}{8}$，两边乘以2得 $F(x)^2 - 1 = x - \frac{\sin(4x)}{4}$，所以 $F(x)^2 = 1 + x - \frac{\sin(4x)}{4}$。由于 $F(x) > 0$，取正平方根：$F(x) = \sqrt{1 + x - \frac{\sin(4x)}{4}}$。
公式：F(x) = \sqrt{1 + x - \frac{\sin(4x)}{4}}
提示：平方根取正号是因为题目条件 $F(x) > 0$，不可忽略。
步骤 6/7
目标：求 $f(x)$
由 $f(x) = F'(x)$，令 $u(x) = 1 + x - \frac{\sin(4x)}{4}$，则 $F(x) = u^{1/2}$，求导得 $F'(x) = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot u'(x)$。计算 $u'(x) = 1 - \frac{1}{4} \cdot 4 \cos(4x) = 1 - \cos(4x)$，因此 $f(x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2 \sqrt{1 + x - \frac{\sin(4x)}{4}}}$。
公式：f(x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2 \sqrt{1 + x - \frac{\sin(4x)}{4}}}
提示：复合函数求导时注意链式法则，$u'(x)$ 计算要准确。
步骤 7/7
目标：化简最终结果
利用恒等式 $1 - \cos(4x) = 2\sin^2(2x)$，代入得 $f(x) = \frac{2\sin^2(2x)}{2 \sqrt{1 + x - \frac{\sin(4x)}{4}}} = \frac{\sin^2(2x)}{\sqrt{1 + x - \frac{\sin(4x)}{4}}}$。此结果满足 $f(x)F(x) = \sin^2(2x)$，验证正确。
公式：f(x) = \frac{\sin^2(2x)}{\sqrt{1 + x - \frac{\sin(4x)}{4}}}
提示：化简时注意 $\sin^2(2x)$ 与 $1-\cos(4x)$ 的关系，避免符号错误。
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