陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
9．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，记 $F(x)=\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t$ ．
（1）求 $F^{\prime}(x)$ ．
（2）证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=-\xi f(\xi)$ ．
（3）证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $x_{0}$ ，使得 $2 f\left(x_{0}\right)+x_{0} f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求F'(x)的表达式
已知 $F(x)=\int_{0}^{x} x f(t) \, dt$，由于积分变量为 $t$，$x$ 可视为常数，故 $F(x)=x \int_{0}^{x} f(t) \, dt$。对 $x$ 求导，使用乘积法则：$(x)'\int_{0}^{x} f(t) \, dt + x \left(\int_{0}^{x} f(t) \, dt\right)' = \int_{0}^{x} f(t) \, dt + x f(x)$。
公式：$F'(x)=\int_{0}^{x} f(t) \, dt + x f(x)$
提示：注意 $\int_{0}^{x} f(t) \, dt$ 对 $x$ 求导的结果是 $f(x)$，不要忘记乘积法则中的第二项。
步骤 2/4
目标：证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $\int_{0}^{\xi} f(x) \, dx = -\xi f(\xi)$
由(1)知 $F'(x)=\int_{0}^{x} f(t) \, dt + x f(x)$，故待证等式等价于 $F'(\xi)=0$。计算 $F(0)=0 \cdot \int_{0}^{0} f(t) \, dt = 0$，$F(1)=1 \cdot \int_{0}^{1} f(t) \, dt = 0$（由题设 $\int_{0}^{1} f=0$）。$F(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 可导，由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$，即 $\int_{0}^{\xi} f(t) \, dt + \xi f(\xi)=0$，移项得证。
公式：$F(0)=F(1)=0 \Rightarrow \exists \xi \in (0,1), F'(\xi)=0$
提示：关键是将待证等式与 $F'(x)$ 联系起来，并利用 $\int_0^1 f=0$ 得到 $F(1)=0$。
步骤 3/4
目标：证明存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $2f(x_0)+x_0 f'(x_0)=0$
考虑辅助函数 $H(x)=x^2 f(x)$，则 $H'(x)=2x f(x)+x^2 f'(x)=x[2f(x)+x f'(x)]$。由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续且 $\int_0^1 f=0$，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个零点（否则 $f$ 恒正或恒负导致积分非零），设 $\eta \in (0,1)$ 使 $f(\eta)=0$，于是 $H(0)=0$，$H(\eta)=\eta^2 f(\eta)=0$。$H(x)$ 在 $[0,\eta]$ 连续，在 $(0,\eta)$ 可导，由罗尔定理，存在 $x_0 \in (0,\eta) \subset (0,1)$ 使 $H'(x_0)=0$，即 $x_0[2f(x_0)+x_0 f'(x_0)]=0$，因 $x_0>0$，故 $2f(x_0)+x_0 f'(x_0)=0$。
公式：$H(x)=x^2 f(x), H'(x)=x[2f(x)+x f'(x)]$
提示：构造 $H(x)=x^2 f(x)$ 是关键，注意需要先证明存在 $\eta$ 使 $f(\eta)=0$，这由积分中值定理或连续函数性质可得。
步骤 4/4
目标：总结并验证结论
三问均已证明：(1) $F'(x)=\int_0^x f(t) \, dt + x f(x)$；(2) 存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $\int_0^\xi f = -\xi f(\xi)$；(3) 存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $2f(x_0)+x_0 f'(x_0)=0$。
公式：无新公式
提示：检查每一步的假设条件是否满足，如连续性、可导性、端点值等。
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