陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
14．证明：若在区间 $I$ 上函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 一致收敛，且对每个正整数 $n, f_{n}(x)$ 都在区间 $I$ 上有界，则函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致有界。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确一致收敛的定义，并取ε=1
已知函数列 $\{f_n\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛于某个函数 $f(x)$。由一致收敛的定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，对所有 $x \in I$ 都有 $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$。特别地，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $N$，当 $n > N$ 时，对所有 $x \in I$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < 1$。
公式：$\forall \varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n>N,\forall x\in I:|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
提示：注意一致收敛中 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于 $x$，这是与逐点收敛的关键区别。
步骤 2/5
目标：利用三角不等式得到 $n>N$ 时 $f_n$ 的界
对于所有 $n > N$ 和所有 $x \in I$，由三角不等式 $|f_n(x)| \leq |f_n(x) - f(x)| + |f(x)| < 1 + |f(x)|$。因此，$|f_n(x)| \leq |f(x)| + 1$ 对所有 $x \in I$ 成立。
公式：$|f_n(x)| \leq |f_n(x)-f(x)| + |f(x)| < 1 + |f(x)|$
提示：三角不等式是处理绝对值估计的常用技巧，注意方向。
步骤 3/5
目标：证明极限函数 $f(x)$ 在 $I$ 上有界
由于每个 $f_n$ 在 $I$ 上有界，固定某个 $n_0 > N$，设 $M_{n_0}$ 是 $f_{n_0}$ 的一个界。则对任意 $x \in I$，$|f(x)| \leq |f(x) - f_{n_0}(x)| + |f_{n_0}(x)| < 1 + M_{n_0}$。因此 $f$ 在 $I$ 上有界，记其上界为 $M_f$。
公式：$|f(x)| \leq |f(x)-f_{n_0}(x)| + |f_{n_0}(x)| < 1 + M_{n_0}$
提示：这里利用了 $n_0 > N$ 时的一致收敛估计，确保 $|f(x)-f_{n_0}(x)|<1$ 对所有 $x$ 成立。
步骤 4/5
目标：得到 $n>N$ 时所有 $f_n$ 的公共界
由前两步，对所有 $n > N$ 和所有 $x \in I$，有 $|f_n(x)| \leq |f(x)| + 1 \leq M_f + 1$。因此，$M_f + 1$ 是 $n>N$ 时所有函数的一个公共上界。
公式：$\forall n>N,\forall x\in I: |f_n(x)| \leq M_f + 1$
提示：注意这里 $M_f$ 是 $f$ 的上界，不是下界。
步骤 5/5
目标：处理前 $N$ 个函数，取最大值得到整体一致有界
对于前 $N$ 个函数 $f_1, f_2, \ldots, f_N$，每个在 $I$ 上有界，设它们的界分别为 $M_1, M_2, \ldots, M_N$。令 $M_0 = \max\{M_1, M_2, \ldots, M_N\}$。再令 $M = \max\{M_0, M_f + 1\}$。则对任意正整数 $n$ 和任意 $x \in I$，都有 $|f_n(x)| \leq M$。
公式：$M = \max\{M_0, M_f+1\}$
提示：前 $N$ 个函数是有限个，取最大值即可；不要忘记与 $M_f+1$ 比较，取较大者。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。