陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．解答如下问题：
（1）讨论函数 $f(x)=(x-1)(x-2) D(x)$ 的连续点和间断点，并判断间断点的类型，其中 $D(x)$ 是狄利克雷函数
$$
D(x)= \begin{cases}1, & x \text { 为有理数 } ; \\ 0, & x \text { 为无理数. }\end{cases}
$$
（2）给出实数集 $\mathbb{R}$ 上只有 3 个连续点的函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数定义与取值规则
函数 $f(x) = (x-1)(x-2) D(x)$，其中 $D(x)$ 是狄利克雷函数：当 $x$ 为有理数时 $D(x)=1$，当 $x$ 为无理数时 $D(x)=0$。因此，$f(x)$ 在有理点取值 $(x-1)(x-2)$，在无理点取值 $0$。
公式：f(x) = \begin{cases} (x-1)(x-2), & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}
提示：注意狄利克雷函数在有理数和无理数上的取值完全不同，这是分析连续性的关键。
步骤 2/6
目标：分析连续的必要条件
由于有理数和无理数在实数中稠密，对于任意点 $x_0$，可以分别取有理数列和无理数列逼近 $x_0$。若 $f$ 在 $x_0$ 连续，则沿这两列函数值的极限必须相等且等于 $f(x_0)$。沿无理数列的极限为 $0$，沿有理数列的极限为 $(x_0-1)(x_0-2)$，因此必须有 $(x_0-1)(x_0-2)=0$。
公式：\lim_{x\to x_0, x\in\mathbb{Q}} f(x) = (x_0-1)(x_0-2), \quad \lim_{x\to x_0, x\notin\mathbb{Q}} f(x) = 0
提示：稠密性保证了两种点列的存在，这是判断极限是否存在的核心。
步骤 3/6
目标：确定可能的连续点
由 $(x_0-1)(x_0-2)=0$ 解得 $x_0=1$ 或 $x_0=2$。在这两点处，无论 $x_0$ 是有理数还是无理数，$f(x_0)=0$，且从有理数列和无理数列逼近的极限均为 $0$，因此 $f$ 在 $x=1$ 和 $x=2$ 处连续。
公式：f(1)=0,\quad f(2)=0;\quad \lim_{x\to 1}f(x)=0,\quad \lim_{x\to 2}f(x)=0
提示：注意检查函数值是否与极限一致，这里恰好都是0。
步骤 4/6
目标：判断其他点的间断类型
对于 $x_0 \neq 1,2$，有 $(x_0-1)(x_0-2) \neq 0$。沿有理数列逼近时极限为 $(x_0-1)(x_0-2) \neq 0$，沿无理数列逼近时极限为 $0$，因此极限不存在。这种由于有理无理交替导致的振荡型间断属于第二类间断点（本质间断）。
公式：\lim_{x\to x_0} f(x) \text{ 不存在，因为两个方向极限不相等}
提示：第二类间断点包括极限不存在的情况，这里左右极限虽存在但不相等，但更精确地属于振荡间断。
步骤 5/6
目标：总结第一问结果
函数 $f(x)=(x-1)(x-2)D(x)$ 的连续点为 $x=1$ 和 $x=2$；其余所有实数均为间断点，且属于第二类间断点。
公式：\text{连续点}: x=1,2; \quad \text{间断点}: \mathbb{R}\setminus\{1,2\} \text{（第二类）}
提示：不要遗漏任何点，实数集上除了1和2都是间断点。
步骤 6/6
目标：构造只有3个连续点的函数
受第一问启发，取 $g(x) = (x-1)(x-2)(x-3)D(x)$。类似分析：沿无理数列极限为 $0$，沿有理数列极限为 $(x-1)(x-2)(x-3)$，仅当 $(x-1)(x-2)(x-3)=0$ 即 $x=1,2,3$ 时极限与函数值（均为0）一致，故仅在这三点连续，其余点均为第二类间断点。
公式：g(x) = (x-1)(x-2)(x-3)D(x)
提示：构造的关键是让多项式因子在目标连续点处为零，从而消除有理无理取值差异。
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