陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．讨论反常积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~d} x$ 的玫散性，若收敛，计算 $I$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断反常积分的收敛性
注意到当 $x \to \frac{\pi}{2}^-$ 时，$\cos x \to 0^+$，则 $\ln \cos x \to -\infty$，因此积分在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处为反常积分。令 $t = \frac{\pi}{2} - x$，则 $t \to 0^+$，且 $\cos x = \sin t$。当 $t$ 很小时，$\sin t \sim t$，故 $\ln \cos x \sim \ln t$。考虑积分 $\int_{0}^{\delta} \ln t \, dt$，其原函数为 $t \ln t - t$，在 $t=0$ 处极限为 $0$，因此该积分收敛。在 $x=0$ 处函数值为 $0$，无奇点，故原反常积分收敛。
公式：$\ln \cos x \sim \ln t \quad (t \to 0^+)$，$\int_{0}^{\delta} \ln t \, dt = t\ln t - t \big|_0^\delta$
提示：注意在 $x \to \frac{\pi}{2}$ 时，$\cos x$ 趋于 $0$，$\ln \cos x$ 趋于 $-\infty$，必须单独分析该点的敛散性。
步骤 2/5
目标：利用对称性建立等式
令 $I = \int_{0}^{\pi/2} \ln \cos x \, dx$。作代换 $x = \frac{\pi}{2} - t$，则 $dx = -dt$，积分限变为 $t$ 从 $\frac{\pi}{2}$ 到 $0$，交换上下限得 $I = \int_{0}^{\pi/2} \ln \sin t \, dt$。因此 $I = \int_{0}^{\pi/2} \ln \sin x \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \ln \cos x \, dx$。
公式：$I = \int_{0}^{\pi/2} \ln \cos x \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \ln \sin x \, dx$
提示：变量替换时注意积分限的变化和符号处理，确保等式成立。
步骤 3/5
目标：将两个积分相加并化简
将两个表达式相加：$2I = \int_{0}^{\pi/2} (\ln \sin x + \ln \cos x) \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin x \cos x) \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \ln\left(\frac{\sin 2x}{2}\right) \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \ln \sin 2x \, dx - \frac{\pi}{2} \ln 2$。
公式：$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$，$\ln(ab) = \ln a + \ln b$
提示：注意 $\ln\left(\frac{\sin 2x}{2}\right) = \ln \sin 2x - \ln 2$，常数项积分直接乘以区间长度。
步骤 4/5
目标：计算含 $\ln \sin 2x$ 的积分
令 $u = 2x$，则 $dx = du/2$，当 $x$ 从 $0$ 到 $\pi/2$ 时，$u$ 从 $0$ 到 $\pi$。于是 $\int_{0}^{\pi/2} \ln \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln \sin u \, du$。利用对称性，$\int_{0}^{\pi} \ln \sin u \, du = 2 \int_{0}^{\pi/2} \ln \sin u \, du = 2I$。因此 $\int_{0}^{\pi/2} \ln \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \cdot 2I = I$。
公式：$\int_{0}^{\pi} \ln \sin u \, du = 2 \int_{0}^{\pi/2} \ln \sin u \, du$
提示：注意 $\ln \sin u$ 在 $[0,\pi]$ 上关于 $u = \pi/2$ 对称，因此积分等于两倍 $[0,\pi/2]$ 上的积分。
步骤 5/5
目标：求解积分值并给出结论
将上一步结果代入 $2I = I - \frac{\pi}{2} \ln 2$，移项得 $I = -\frac{\pi}{2} \ln 2$。因此反常积分收敛，且值为 $-\frac{\pi}{2} \ln 2$。
公式：$2I = I - \frac{\pi}{2} \ln 2 \Rightarrow I = -\frac{\pi}{2} \ln 2$
提示：解方程时注意移项和符号，最终结果为负数，因为 $\ln \cos x$ 在区间内非正。
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