陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．计算曲面积分
$$
\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}(R>0)$ 的上侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别曲面积分的形式
给定曲面积分 \(\iint_{\Sigma} x \,dy\,dz + y \,dz\,dx + z \,dx\,dy\)，其中 \(\Sigma\) 是上半球面 \(z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}\) 的上侧。这属于第二类曲面积分，对应 \(P = x\)，\(Q = y\)，\(R = z\)。
公式：\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy
提示：注意第二类曲面积分中，被积表达式与坐标投影有关，方向影响符号。
步骤 2/5
目标：考虑补面以应用高斯公式
曲面 \(\Sigma\) 不是封闭的，需要补上底面 \(\Sigma_1\)：圆盘 \(x^2 + y^2 \le R^2\)，\(z = 0\)，取下侧（与上半球面的上侧构成封闭曲面的外侧）。记封闭曲面为 \(\Sigma \cup \Sigma_1\)，方向外侧。
公式：\Sigma_1: z=0,\ x^2+y^2\le R^2,\ \text{取下侧}
提示：补面时方向必须与原有曲面方向协调，确保封闭曲面取外侧。
步骤 3/5
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
由高斯公式，\(\iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z}\right) dV\)，其中 \(V\) 是上半球体 \(x^2+y^2+z^2 \le R^2,\ z \ge 0\)。散度为 \(1+1+1=3\)，半球体积为 \(\frac{2}{3}\pi R^3\)，所以三重积分值为 \(3 \cdot \frac{2}{3}\pi R^3 = 2\pi R^3\)。
公式：\iiint_V 3\,dV = 2\pi R^3
提示：高斯公式要求曲面封闭且方向外侧，散度计算要准确。
步骤 4/5
目标：计算底面的曲面积分
在底面 \(\Sigma_1\) 上，\(z=0\)，方向取下侧。由于 \(z\) 为常数，\(dz=0\)，所以 \(x\,dy\,dz=0\)，\(y\,dz\,dx=0\)。而 \(z\,dx\,dy\) 中 \(z=0\)，故该项也为0。因此 \(\iint_{\Sigma_1} = 0\)。
公式：\iint_{\Sigma_1} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = 0
提示：注意方向对第二类曲面积分的影响，但这里被积函数本身为零，方向无关紧要。
步骤 5/5
目标：得出原曲面积分的值
由高斯公式，\(\iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_1} = 2\pi R^3\)，而 \(\iint_{\Sigma_1}=0\)，所以 \(\iint_{\Sigma} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = 2\pi R^3\)。
公式：\iint_{\Sigma} = 2\pi R^3
提示：最终结果与半球体积相关，注意检查符号。
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