陕西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 e^{t}+t+1 \\ y=4(t-1) e^{t}+t^{2}\end{array}\right.$ 确定，计算 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算一阶导数 dx/dt 和 dy/dt
对参数方程中的 $x=2e^{t}+t+1$ 和 $y=4(t-1)e^{t}+t^{2}$ 分别对 $t$ 求导：
$\frac{dx}{dt} = 2e^{t} + 1$
对于 $y$，先对 $4(t-1)e^{t}$ 使用乘法法则：
$\frac{d}{dt}[4(t-1)e^{t}] = 4e^{t} + 4(t-1)e^{t} = 4t e^{t}$
再加上 $t^{2}$ 的导数 $2t$，得：
$\frac{dy}{dt} = 4t e^{t} + 2t = 2t(2e^{t}+1)$
公式：$\frac{dx}{dt}=2e^{t}+1$, $\frac{dy}{dt}=2t(2e^{t}+1)$
提示：注意对乘积 $4(t-1)e^{t}$ 求导时，不要遗漏 $e^{t}$ 的导数项，且要合并同类项。
步骤 2/4
目标：计算一阶导数 dy/dx
利用参数方程的一阶导数公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$，代入已求结果：
$\frac{dy}{dx} = \frac{2t(2e^{t}+1)}{2e^{t}+1}$
由于分母 $2e^{t}+1 > 0$ 恒成立，可约去公因子，得：
$\frac{dy}{dx} = 2t$
公式：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = 2t$
提示：约分前需确认分母不为零，此处 $2e^{t}+1$ 恒正，可以直接约去。
步骤 3/4
目标：计算 d/dt (dy/dx)
对已得到的一阶导数 $\frac{dy}{dx} = 2t$ 关于 $t$ 求导：
$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}(2t) = 2$
公式：$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = 2$
提示：这一步是简单求导，注意不要与对 $x$ 求导混淆。
步骤 4/4
目标：计算二阶导数 d²y/dx²
利用参数方程的二阶导数公式 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt}$，代入已求结果：
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{2}{2e^{t}+1}$
公式：$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{2}{2e^{t}+1}$
提示：公式中分母是 $dx/dt$，不要误用为 $dy/dt$；结果通常保留为关于 $t$ 的表达式。
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