集美大学 2024年数学分析第10题
📝 题目
10、证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2} \ln n}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定逐点极限函数
对于固定的 $x$，考虑 $n \to \infty$ 时 $f_n(x)$ 的极限。若 $x=0$，则 $f_n(0)=0$，极限为 $0$。若 $x>0$，由于指数函数 $n^x$ 的增长速度远快于多项式 $x^2$ 和对数 $\ln n$，因此 $\lim_{n\to\infty} \frac{x^2 \ln n}{n^x}=0$。故逐点极限函数为 $f(x)=0$，$\forall x\in[0,+\infty)$。
公式：\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0, \quad \forall x \in [0,+\infty)
提示：注意 $x=0$ 是特殊情况，需单独验证。
步骤 2/5
目标：将一致收敛问题转化为上确界极限问题
根据一致收敛的定义，要证明 $f_n(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛于 $0$，只需证明 $\sup_{x\ge 0} |f_n(x)-0| = \sup_{x\ge 0} \frac{x^2 \ln n}{n^x} \to 0$（当 $n\to\infty$）。因此需要估计这个上确界的值。
公式：\sup_{x\ge 0} |f_n(x)| = \sup_{x\ge 0} \frac{x^2 \ln n}{n^x}
提示：上确界通常通过求函数最大值得到，注意定义域包含端点 $0$。
步骤 3/5
目标：求函数 $g_n(x)=\frac{x^2 \ln n}{n^x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上的最大值
固定 $n$，令 $h(x)=x^2 n^{-x}$，则 $g_n(x)=\ln n \cdot h(x)$。对 $h(x)$ 取对数求导：$\ln h(x)=2\ln x - x\ln n$，求导得 $\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{2}{x} - \ln n$。令导数为零：$\frac{2}{x} - \ln n =0$，解得驻点 $x=\frac{2}{\ln n}$。由于 $x\to 0^+$ 时 $h(x)\to 0$，$x\to+\infty$ 时 $h(x)\to 0$，故该驻点为最大值点。
公式：x = \frac{2}{\ln n} \quad \text{为最大值点}
提示：注意 $n>1$ 时 $\ln n>0$，驻点为正；$n=1$ 时 $\ln 1=0$，但 $n$ 趋于无穷，故只需考虑充分大的 $n$。
步骤 4/5
目标：计算最大值并化简
将 $x=\frac{2}{\ln n}$ 代入 $h(x)$：$h_{\max} = \left(\frac{2}{\ln n}\right)^2 n^{-2/\ln n}$。利用指数恒等式 $n^{-2/\ln n} = e^{-2}$（因为 $n^{-2/\ln n} = \exp\left(-\frac{2}{\ln n}\cdot \ln n\right)=e^{-2}$），得 $h_{\max} = \frac{4}{(\ln n)^2} \cdot e^{-2}$。因此 $\sup_{x\ge 0} |f_n(x)| = \ln n \cdot h_{\max} = \frac{4 e^{-2} \ln n}{(\ln n)^2} = \frac{4}{e^2 \ln n}$。
公式：\sup_{x\ge 0} |f_n(x)| = \frac{4}{e^2 \ln n}
提示：化简时注意 $\ln n$ 的约分，以及 $e^{-2}$ 是常数。
步骤 5/5
目标：验证一致收敛性并得出结论
当 $n\to\infty$ 时，$\frac{4}{e^2 \ln n} \to 0$。因此对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使得当 $n>N$ 时，对所有 $x\ge 0$ 都有 $|f_n(x)|<\varepsilon$，即函数列一致收敛于 $0$。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{x\ge 0} |f_n(x)| = 0
提示：一致收敛的关键是上确界趋于零，这里上确界表达式简单，可直接看出极限。
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