集美大学 2024年数学分析第5题

我们需要验证当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时，$f(x, y)$ 是否趋于 $f(0, 0) = 0$。函数定义为 $f(x, y) = \frac{x^2 y}{\sqrt{x^4 + y^2}}$（非原点处）。利用不等式 $|y| \le \sqrt{x^4 + y^2}$（因为 $y^2 \le x^4 + y^2$），可得： $$|f(x, y)| = \frac{x^2 |y|}{\sqrt{x^4 + y^2}} \le \frac{x^2 \sqrt{x^4 + y^2}}{\sqrt{x^4 + y^2}} = x^2.$$ 当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时，$x^2 \to 0$，因此 $|f(x, y)| \to 0$，即 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x, y) = 0 = f(0, 0)$。

根据偏导数定义： $$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}.$$ 当 $y=0$ 时，$f(h,0) = \frac{h^2 \cdot 0}{\sqrt{h^4+0}} = 0$，所以 $f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{0-0}{h} = 0$。 类似地， $$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}.$$ 当 $x=0$ 时，$f(0,k) = 0$，所以 $f_y(0,0) = 0$。

函数在原点可微的充要条件是： $$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0.$$ 代入 $f(0,0)=0$ 和 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，条件简化为： $$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{h^2 k}{\sqrt{h^4+k^2} \cdot \sqrt{h^2+k^2}} = 0.$$

尝试特殊路径 $k = h^2$：分子 $h^2 \cdot h^2 = h^4$，分母第一部分 $\sqrt{h^4 + h^4} = \sqrt{2} h^2$，第二部分 $\sqrt{h^2 + h^4} = |h|\sqrt{1+h^2}$，整体为 $\frac{h^4}{\sqrt{2} h^2 |h| \sqrt{1+h^2}} = \frac{|h|}{\sqrt{2}\sqrt{1+h^2}} \to 0$。 尝试直线路径 $k = mh$（$m \neq 0$）：分子 $m h^3$，分母 $|h|\sqrt{h^2+m^2} \cdot |h|\sqrt{1+m^2} = h^2 \sqrt{h^2+m^2}\sqrt{1+m^2}$，整体为 $\frac{m h}{\sqrt{h^2+m^2}\sqrt{1+m^2}} \to 0$。 尝试 $k = -x^2$ 等路径均得极限0，提示可能可微。

利用不等式 $|k| \le \sqrt{h^4+k^2}$（因为 $k^2 \le h^4+k^2$），可得： $$\frac{|h^2 k|}{\sqrt{h^4+k^2}\sqrt{h^2+k^2}} \le \frac{h^2 \sqrt{h^4+k^2}}{\sqrt{h^4+k^2}\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{h^2}{\sqrt{h^2+k^2}}.$$ 又因为 $h^2 \le h^2+k^2$，所以 $\frac{h^2}{\sqrt{h^2+k^2}} \le \frac{h^2+k^2}{\sqrt{h^2+k^2}} = \sqrt{h^2+k^2}$。 因此， $$0 \le \frac{|h^2 k|}{\sqrt{h^4+k^2}\sqrt{h^2+k^2}} \le \sqrt{h^2+k^2} \to 0 \quad ((h,k)\to(0,0)).$$ 由夹逼定理，原极限为0，满足可微条件。