集美大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4、计算二重积分 $\displaystyle \mathbf{I}=\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
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D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq x+y\right\}
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💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将区域D的不等式化为标准形式，识别区域形状
给定不等式 $x^2 + y^2 \leq x + y$，移项得 $x^2 + y^2 - x - y \leq 0$。分别对 $x$ 和 $y$ 配方：$x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$，$y^2 - y = (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$。代入得 $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} \leq 0$，即 $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \leq \frac{1}{2}$。因此区域 $D$ 是圆心在 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$，半径为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 的圆盘。
公式：$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \leq \frac{1}{2}$
提示：配方时注意常数项的处理，确保不等式方向正确。
步骤 2/4
目标：通过坐标平移简化积分区域
令 $u = x - \frac{1}{2}$，$v = y - \frac{1}{2}$，则区域变为 $u^2 + v^2 \leq \frac{1}{2}$。被积函数 $x+y = (u+\frac{1}{2}) + (v+\frac{1}{2}) = u+v+1$。雅可比行列式为 $1$，因此积分化为 $I = \iint_{u^2+v^2 \leq \frac{1}{2}} (u+v+1) \, du \, dv$。
公式：$I = \iint_{u^2+v^2 \leq \frac{1}{2}} (u+v+1) \, du \, dv$
提示：平移变换不改变面积元，雅可比行列式为1。
步骤 3/4
目标：利用对称性简化积分计算
圆域 $u^2+v^2 \leq \frac{1}{2}$ 关于 $u$ 轴和 $v$ 轴对称，且 $u$ 和 $v$ 均为奇函数，故 $\iint u \, du \, dv = 0$，$\iint v \, du \, dv = 0$。因此积分只剩下常数项：$I = \iint_{u^2+v^2 \leq \frac{1}{2}} 1 \, du \, dv$。
公式：$\iint u \, du \, dv = 0$，$\iint v \, du \, dv = 0$
提示：奇函数在对称区域上的积分为零，这是简化积分的常用技巧。
步骤 4/4
目标：计算圆的面积得到最终结果
常数项积分即为圆域的面积。圆的半径 $R = \frac{1}{\sqrt{2}}$，面积 $\pi R^2 = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$。因此 $I = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\pi R^2 = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$
提示：注意半径的平方是 $\frac{1}{2}$，不要误算为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 的平方。
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