集美大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3、计算反常积分 $\displaystyle I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{e^{x}+3 e^{-x}+1} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简被积函数，统一指数形式
原积分为 $I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{e^{x}+3 e^{-x}+1} \mathrm{~d} x$。将分母中的 $e^{-x}$ 化为 $\frac{1}{e^x}$，然后分子分母同乘以 $e^x$：
$$
\frac{1}{e^x + 3 e^{-x} + 1} = \frac{1}{e^x + \frac{3}{e^x} + 1} = \frac{e^x}{e^{2x} + e^x + 3}
$$
因此
$$
I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^x}{e^{2x} + e^x + 3} \, dx
$$
公式：\frac{1}{e^x+3e^{-x}+1} = \frac{e^x}{e^{2x}+e^x+3}
提示：注意 $e^{-x} = 1/e^x$，乘以 $e^x$ 后分母变为关于 $e^x$ 的二次式。
步骤 2/6
目标：换元将积分化为有理函数积分
令 $t = e^x$，则 $dt = e^x dx$，积分限：当 $x \to -\infty$ 时 $t \to 0^+$，当 $x \to +\infty$ 时 $t \to +\infty$。代入得：
$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{t^2 + t + 3} \, dt
$$
公式：t = e^x, \quad dt = e^x dx, \quad I = \int_0^{+\infty} \frac{1}{t^2+t+3} dt
提示：换元后注意积分限的变化，且 $e^x dx$ 恰好与分子抵消。
步骤 3/6
目标：对分母配方，便于积分
对分母配方：
$$
t^2 + t + 3 = \left(t + \frac12\right)^2 + \frac{11}{4}
$$
于是
$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(t + \frac12\right)^2 + \frac{11}{4}} \, dt
$$
公式：t^2 + t + 3 = \left(t+\frac12\right)^2 + \frac{11}{4}
提示：配方时注意常数项的计算：$3 - (1/2)^2 = 3 - 1/4 = 11/4$。
步骤 4/6
目标：再次换元，化为标准反正切积分形式
令 $u = t + \frac12$，则 $du = dt$，积分限：$t=0$ 时 $u=\frac12$，$t\to+\infty$ 时 $u\to+\infty$。于是
$$
I = \int_{\frac12}^{+\infty} \frac{1}{u^2 + \frac{11}{4}} \, du
$$
公式：u = t + \frac12, \quad I = \int_{1/2}^{+\infty} \frac{du}{u^2 + (\sqrt{11}/2)^2}
提示：注意 $\frac{11}{4} = \left(\frac{\sqrt{11}}{2}\right)^2$。
步骤 5/6
目标：利用反正切公式计算积分
由公式 $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$，这里 $a = \frac{\sqrt{11}}{2}$，所以
$$
I = \left[ \frac{2}{\sqrt{11}} \arctan\left( \frac{2u}{\sqrt{11}} \right) \right]_{\frac12}^{+\infty}
$$
公式：\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right), \quad a = \frac{\sqrt{11}}{2}
提示：代入 $a$ 时注意 $1/a = 2/\sqrt{11}$。
步骤 6/6
目标：代入上下限并化简结果
当 $u \to +\infty$ 时，$\arctan(\frac{2u}{\sqrt{11}}) \to \frac{\pi}{2}$；当 $u = \frac12$ 时，$\frac{2u}{\sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{11}}$。因此
$$
I = \frac{2}{\sqrt{11}} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan\left( \frac{1}{\sqrt{11}} \right) \right)
$$
利用恒等式 $\arctan x + \arctan(1/x) = \frac{\pi}{2}$（$x>0$），可得 $\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{11}}\right) = \arctan(\sqrt{11})$，所以
$$
I = \frac{2}{\sqrt{11}} \arctan(\sqrt{11})
$$
公式：\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{11}}\right) = \arctan(\sqrt{11})
提示：注意反正切恒等式的使用条件 $x>0$，这里 $\sqrt{11}>0$ 成立。
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