集美大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2 n+1)}{n} x^{2 n}$ 的收玫域与和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量替换简化幂级数
原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2 n+1)}{n} x^{2 n}$，注意到只有 $x$ 的偶次幂，令 $t = x^2$，则级数化为关于 $t$ 的幂级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{n} t^{n}$。
公式：$t = x^2$
提示：变量替换后要记得最后将 $t$ 换回 $x^2$，且注意 $t \ge 0$ 但收敛域由 $|t|<1$ 决定。
步骤 2/6
目标：求关于 t 的幂级数的收敛半径
系数 $a_n = \frac{(-1)^n (2n+1)}{n}$，用比值法求收敛半径：
$$
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+3}{n+1} \cdot \frac{n}{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+3}{n+1} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1.
$$
因此收敛半径 $R=1$，即当 $|t|<1$ 时级数绝对收敛。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$
提示：比值极限为1时，收敛半径为1，但端点需单独判断。
步骤 3/6
目标：判断端点收敛性，确定收敛域
当 $t=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n+1)}{n}$，通项绝对值 $\frac{2n+1}{n} \to 2 \neq 0$，级数发散。
当 $t=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n+1)}{n} (-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n}$，通项 $\to 2 \neq 0$，也发散。
故 $t$ 的收敛域为 $(-1,1)$，对应 $x$ 的收敛域为 $|x|<1$，即 $(-1,1)$。
公式：端点 $t=\pm1$ 均发散
提示：端点代入后通项不趋于0，直接判定发散，无需用其他判别法。
步骤 4/6
目标：拆分级数以便求和
设 $S(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n+1)}{n} t^n$，$|t|<1$。拆分为：
$$
S(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 2n}{n} t^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} t^n = 2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n t^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} t^n.
$$
公式：$S(t) = 2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n t^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} t^n$
提示：注意拆分时 $\frac{2n+1}{n} = 2 + \frac{1}{n}$，不要漏项。
步骤 5/6
目标：分别求两个级数的和
第一项：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n t^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-t)^n = \frac{-t}{1+t}$（$|t|<1$），所以 $2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n t^n = -\frac{2t}{1+t}$。
第二项：利用 $\ln(1+t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} t^n$，得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} t^n = -\ln(1+t)$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} (-t)^n = \frac{-t}{1+t}$，$\ln(1+t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} t^n$
提示：等比级数求和注意首项和公比；对数展开的符号不要弄反。
步骤 6/6
目标：合并得到和函数并代回 x
合并得 $S(t) = -\frac{2t}{1+t} - \ln(1+t)$，$|t|<1$。代回 $t = x^2$，得原级数的和函数：
$$
S(x) = -\frac{2x^2}{1+x^2} - \ln(1+x^2), \quad |x|<1.
$$
公式：$S(x) = -\frac{2x^2}{1+x^2} - \ln(1+x^2)$
提示：代回时注意 $t=x^2 \ge 0$，但 $|t|<1$ 自动保证 $|x|<1$，且 $\ln(1+x^2)$ 定义良好。
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