集美大学 2024年数学分析第1题

题目要求 $y = x^2 \ln x$ 的 $n$ 阶微分 $\mathrm{d}^n y$。高阶微分与高阶导数的关系为 $\mathrm{d}^n y = y^{(n)} (\mathrm{d}x)^n$，因此先求 $y^{(n)}$。

使用乘积法则：$y' = (x^2)' \ln x + x^2 (\ln x)' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$。

对 $y' = 2x \ln x + x$ 求导：$(2x \ln x)' = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \ln x + 2$，加上 $(x)' = 1$，得 $y'' = 2 \ln x + 3$。

三阶：$y''' = (2 \ln x + 3)' = \frac{2}{x}$。 四阶：$y^{(4)} = \left(\frac{2}{x}\right)' = -\frac{2}{x^2}$。 五阶：$y^{(5)} = \left(-\frac{2}{x^2}\right)' = \frac{4}{x^3}$。 六阶：$y^{(6)} = \left(\frac{4}{x^3}\right)' = -\frac{12}{x^4}$。

观察规律：$y^{(3)} = 2 \cdot 1 \cdot x^{-1}$，$y^{(4)} = 2 \cdot (-1) \cdot 1! \cdot x^{-2}$，$y^{(5)} = 2 \cdot (+1) \cdot 2! \cdot x^{-3}$，$y^{(6)} = 2 \cdot (-1) \cdot 3! \cdot x^{-4}$。 符号为 $(-1)^{n-1}$，系数为 $2 \cdot (n-3)!$，指数为 $-(n-2)$。 验证：$n=3$ 时 $2 \cdot (-1)^{2} \cdot 0! \cdot x^{-1} = 2/x$，正确。

根据 $\mathrm{d}^n y = y^{(n)} (\mathrm{d}x)^n$，代入各阶导数： - $n=1$：$\mathrm{d}y = (2x \ln x + x) \, \mathrm{d}x$ - $n=2$：$\mathrm{d}^2 y = (2 \ln x + 3) \, (\mathrm{d}x)^2$ - $n \ge 3$：$\mathrm{d}^n y = 2 (-1)^{n-1} (n-3)! \, x^{-(n-2)} \, (\mathrm{d}x)^n$