集美大学 2024年数学分析第6题

将级数通项改写为： \[ a_n = \frac{(-1)^n}{n^{p+\frac{1}{n}}} = (-1)^n \cdot \frac{1}{n^p \cdot n^{1/n}} \] 其中 \(n^{1/n} = e^{\frac{\ln n}{n}} \to 1\) 当 \(n \to \infty\)。因此，对于充分大的 \(n\)，分母的行为主要由 \(n^p\) 决定，但 \(n^{1/n}\) 的微小变化需要严谨处理。

考虑绝对值级数 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{p+1/n}}\)。使用比较判别法的极限形式： \[ \lim_{n\to\infty} \frac{1/n^{p+1/n}}{1/n^p} = \lim_{n\to\infty} n^{-1/n} = 1 \] 因此绝对值级数与 \(\sum \frac{1}{n^p}\) 同敛散。 - 当 \(p > 1\) 时，\(\sum \frac{1}{n^p}\) 收敛，故原级数绝对收敛。 - 当 \(p \le 1\) 时，绝对值级数发散，原级数非绝对收敛。

对于 \(p \le 1\) 的情况，原级数为交错级数 \(\sum (-1)^n b_n\)，其中 \(b_n = \frac{1}{n^{p+1/n}} > 0\)。 首先检查 \(\lim_{n\to\infty} b_n\)： - 若 \(p > 0\)，则 \(p+1/n \to p > 0\)，分母 \(n^{p+1/n} \to \infty\)，故 \(b_n \to 0\)。 - 若 \(p = 0\)，则 \(b_n = 1/n^{1/n} \to 1\)，不趋于0。 - 若 \(p < 0\)，则 \(p+1/n \to p < 0\)，分母 \(n^{p+1/n} \to 0\)，故 \(b_n \to \infty\)。 因此，仅当 \(p > 0\) 时通项趋于0，否则级数发散。

当 \(p > 0\) 时，需验证 \(b_n\) 是否单调递减（最终单调即可）。考虑比值： \[ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{n^{p+1/n}}{(n+1)^{p+1/(n+1)}} \] 取对数： \[ \ln b_{n+1} - \ln b_n = -p \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) - \frac{\ln(n+1)}{n+1} + \frac{\ln n}{n} \] 对于大 \(n\)，\(\ln(1+1/n) \sim 1/n\)，后两项之差为 \(-\frac{\ln n}{n(n+1)} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\)，主导项为 \(-p/n < 0\)。因此存在 \(N\)，当 \(n > N\) 时 \(\ln b_{n+1} - \ln b_n < 0\)，即 \(b_n\) 最终单调递减。

由莱布尼茨判别法，当 \(p > 0\) 且 \(b_n\) 单调递减趋于0时，交错级数收敛。结合第二步，\(0 < p \le 1\) 时级数条件收敛（非绝对收敛）。 总结： - \(p \le 0\)：通项不趋于0，级数发散。 - \(0 < p \le 1\)：条件收敛。 - \(p > 1\)：绝对收敛。