集美大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7、已知 $\displaystyle f(\mathbf{x})$ 在 $\displaystyle [\mathbf{a}, \mathbf{b}]$ 上连续，在 $\displaystyle (\mathbf{a}, \mathbf{b})$ 上二阶可导，且
$$
f(b)=0, F(x)=(x-a)^{2} f(x)
$$
证明：存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle F^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和构造辅助函数
已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上二阶可导，且 $f(b)=0$。定义 $F(x)=(x-a)^2 f(x)$。目标是证明存在 $\eta \in (a,b)$ 使得 $F''(\eta)=0$。
公式：F(x) = (x-a)^2 f(x)
提示：注意 $F(x)$ 的构造利用了 $(x-a)^2$ 在 $x=a$ 处为零，这有助于后续应用罗尔定理。
步骤 2/5
目标：计算F(x)在端点处的值并应用罗尔定理
计算 $F(a)=(a-a)^2 f(a)=0$，$F(b)=(b-a)^2 f(b)=0$。由于 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导（因为 $f$ 可导），由罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (a,b)$ 使得 $F'(\xi_1)=0$。
公式：F(a)=F(b)=0 \Rightarrow \exists \xi_1 \in (a,b), F'(\xi_1)=0
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导且端点函数值相等，这里全部满足。
步骤 3/5
目标：计算F'(a)并发现另一个导数为零的点
对 $F(x)$ 求导：$F'(x)=2(x-a)f(x)+(x-a)^2 f'(x)$。代入 $x=a$ 得 $F'(a)=2(a-a)f(a)+(a-a)^2 f'(a)=0$。因此 $F'(a)=0$。
公式：F'(a)=0, \quad F'(\xi_1)=0
提示：注意 $F'(a)=0$ 是由 $(x-a)$ 因子直接导致的，不需要 $f(a)$ 为零。
步骤 4/5
目标：对F'(x)再次应用罗尔定理
由于 $F'(x)$ 在 $[a,\xi_1]$ 上连续（由 $f$ 二阶可导保证），在 $(a,\xi_1)$ 上可导，且 $F'(a)=F'(\xi_1)=0$，由罗尔定理，存在 $\eta \in (a,\xi_1) \subset (a,b)$ 使得 $F''(\eta)=0$。
公式：\exists \eta \in (a,\xi_1), F''(\eta)=0
提示：这里需要 $f$ 二阶可导以保证 $F'$ 可导，从而可以应用罗尔定理。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，存在 $\eta \in (a,b)$ 使得 $F''(\eta)=0$，证毕。
公式：\eta \in (a,b), F''(\eta)=0
提示：结论直接由罗尔定理的两次应用得到，注意 $\eta$ 的范围严格在 $(a,b)$ 内。
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