集美大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8、已知 $\displaystyle a_{1}=7, a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}},(n=1,2, \cdots)$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限存在，并求其值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析递推关系，猜测极限值
设极限存在且为 $L$，则由递推式 $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ 两边取极限得 $L = \sqrt{2 + L}$。两边平方得 $L^2 = 2 + L$，即 $L^2 - L - 2 = 0$，解得 $L = 2$ 或 $L = -1$。由于数列各项均为正数，故极限只可能为 $L = 2$。
公式：L = \sqrt{2 + L} \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0 \Rightarrow L = 2 \text{（舍去负根）}
提示：注意平方后可能产生增根，需结合数列的正性进行取舍。
步骤 2/5
目标：证明数列有下界
用数学归纳法证明 $a_n > 2$ 对所有 $n$ 成立。
- 当 $n=1$ 时，$a_1 = 7 > 2$，成立。
- 假设 $a_k > 2$，则 $a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} > \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$，所以 $a_{k+1} > 2$。
因此数列有下界 $2$。
公式：a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} > \sqrt{2 + 2} = 2
提示：归纳假设时注意不等式方向，根号内数值增大则结果增大。
步骤 3/5
目标：证明数列单调递减
考虑 $a_{n+1}^2 - a_n^2 = (2 + a_n) - a_n^2 = -a_n^2 + a_n + 2 = -(a_n - 2)(a_n + 1)$。
由前一步知 $a_n > 2$，故 $-(a_n - 2)(a_n + 1) < 0$，即 $a_{n+1}^2 < a_n^2$。由于各项为正，开方得 $a_{n+1} < a_n$。因此数列严格单调递减。
公式：a_{n+1}^2 - a_n^2 = -(a_n - 2)(a_n + 1) < 0 \Rightarrow a_{n+1} < a_n
提示：比较平方差是处理含根号递推单调性的常用技巧，注意符号判断。
步骤 4/5
目标：由单调有界定理确认极限存在
数列 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界 $2$，根据单调有界定理，极限存在。记极限为 $L$，则 $L \geq 2$。
公式：\text{单调递减且有下界} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = L \text{ 存在}
提示：单调有界定理是实数完备性的重要推论，需确保单调性和有界性均已证明。
步骤 5/5
目标：求解极限值
由第一步的方程 $L = \sqrt{2 + L}$ 解得 $L = 2$ 或 $L = -1$，结合 $L \geq 2$ 得 $L = 2$。因此极限值为 $2$。
公式：L = \sqrt{2 + L} \Rightarrow L = 2
提示：代入极限方程时，注意利用已证的下界排除负根。
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