集美大学 2024年数学分析第9题
📝 题目
9、已知 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ ，证明：在 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 上距离原点最近的点的法线经过原点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将问题转化为条件极值问题
我们要找曲面 $F(x,y,z)=0$ 上的点 $(x,y,z)$，使得它到原点的距离 $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ 最小。由于平方函数是单调递增的，等价于求函数 $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ 在约束条件 $F(x,y,z)=0$ 下的极小值点。
公式：f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2, \quad \text{s.t. } F(x,y,z)=0
提示：注意：距离最小化与距离平方最小化是等价的，因为平方函数在正数区间单调递增，这样可避免根号带来的复杂计算。
步骤 2/5
目标：应用拉格朗日乘数法建立方程组
设拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda F(x,y,z)$。对各个变量求偏导并令其为零：
\[
\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + \lambda F_x = 0 \quad (1)
\]
\[
\frac{\partial L}{\partial y} = 2y + \lambda F_y = 0 \quad (2)
\]
\[
\frac{\partial L}{\partial z} = 2z + \lambda F_z = 0 \quad (3)
\]
以及约束条件 $F(x,y,z)=0 \quad (4)$。
公式：\nabla L = 0 \Rightarrow 2x + \lambda F_x = 0, \; 2y + \lambda F_y = 0, \; 2z + \lambda F_z = 0
提示：注意：$F_x, F_y, F_z$ 分别表示 $F$ 对 $x, y, z$ 的偏导数，在极值点处这些偏导数不能全为零，否则法向量无定义。
步骤 3/5
目标：由梯度关系得到法线方向
由方程 (1)(2)(3) 可写成向量形式：
\[
(2x, 2y, 2z) = -\lambda (F_x, F_y, F_z)
\]
即 $(x, y, z) = -\frac{\lambda}{2} \nabla F$。这说明位置向量 $(x, y, z)$ 与梯度向量 $\nabla F$ 平行。而曲面在点 $(x,y,z)$ 处的法向量正是 $\nabla F$，因此 $(x, y, z)$ 也是该点的法线方向。
公式：(x, y, z) \parallel \nabla F = (F_x, F_y, F_z)
提示：注意：这里假设 $\lambda \neq 0$，若 $\lambda = 0$ 则 $x=y=z=0$，但原点不一定在曲面上，故通常 $\lambda \neq 0$。
步骤 4/5
目标：几何解释：法线经过原点
法线方向向量为 $(x, y, z)$，意味着从该点指向原点的向量正好沿着法线方向。因为法线是通过该点且方向为 $(x, y, z)$ 的直线，而原点正好在这条直线上（从该点出发，沿方向 $(x, y, z)$ 的反方向走距离 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 就到了原点）。因此法线必然经过原点。
公式：\text{法线方程：} \frac{X-x}{x} = \frac{Y-y}{y} = \frac{Z-z}{z} \text{，原点}(0,0,0)\text{满足该方程}
提示：注意：这里要求 $(x,y,z) \neq (0,0,0)$，否则点本身是原点，但原点在曲面上的情况需单独讨论，不过题目通常考虑非零情况。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，在曲面 $F(x,y,z)=0$ 上，距离原点最近的点满足梯度 $\nabla F$ 与位置向量 $(x,y,z)$ 平行，从而该点的法线经过原点。证毕。
公式：\text{结论：极值点处 } \nabla F \parallel (x,y,z) \Rightarrow \text{法线过原点}
提示：该结论是条件极值几何意义的典型应用，也可理解为：原点到曲面的最短距离方向垂直于曲面。
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