首都师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
一．（24分）求极限．
（1）（8 分） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{\sin ^{3} x}$ ．
（2）（8 分） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k \sin \left(\frac{k}{n}\right)}{k n+1}$ ．
（3）（8 分） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}, a, b>0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求极限 (1)：化简表达式
当 $x \to 0$ 时，分子 $\tan x - x$ 和分母 $\sin^3 x$ 都趋于 0，属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式。使用泰勒展开：$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$，所以 $\tan x - x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)$；$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，所以 $\sin^3 x = (x + O(x^3))^3 = x^3 + O(x^5)$。
公式：\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)
提示：注意泰勒展开时保留到 $x^3$ 项即可，高阶项不影响极限。
步骤 2/6
目标：求极限 (1)：计算极限值
代入展开式：$\frac{\tan x - x}{\sin^3 x} = \frac{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{x^3 + O(x^5)} = \frac{\frac{1}{3} + O(x^2)}{1 + O(x^2)}$，当 $x \to 0$ 时，极限为 $\frac{1}{3}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{\sin^3 x} = \frac{1}{3}
提示：也可用洛必达法则，但泰勒展开更简洁。
步骤 3/6
目标：求极限 (2)：改写求和项并放缩
原式为 $\sum_{k=1}^n \frac{k \sin(k/n)}{kn+1}$。由于 $kn \le kn+1 \le kn+n = n(k+1)$，得到不等式：$\frac{k \sin(k/n)}{n(k+1)} \le \frac{k \sin(k/n)}{kn+1} \le \frac{\sin(k/n)}{n}$。左边可写为 $\frac{k}{k+1} \cdot \frac{\sin(k/n)}{n}$。
公式：\frac{k}{k+1} \cdot \frac{\sin(k/n)}{n} \le \frac{k \sin(k/n)}{kn+1} \le \frac{\sin(k/n)}{n}
提示：放缩时注意分母处理，确保不等式方向正确。
步骤 4/6
目标：求极限 (2)：利用夹逼定理和黎曼和
右边求和：$\sum_{k=1}^n \frac{\sin(k/n)}{n} \to \int_0^1 \sin x \, dx = 1 - \cos 1$（当 $n \to \infty$）。左边求和：$\sum_{k=1}^n \frac{k}{k+1} \cdot \frac{\sin(k/n)}{n}$，由于 $\frac{k}{k+1} \to 1$，且有限项不影响极限，故左边极限也为 $1 - \cos 1$。由夹逼定理，原极限为 $1 - \cos 1$。
公式：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k \sin(k/n)}{kn+1} = 1 - \cos 1
提示：注意黎曼和转化时，$\frac{k}{n}$ 视为 $x$，$\frac{1}{n}$ 视为 $dx$。
步骤 5/6
目标：求极限 (3)：取对数转化为 $\frac{0}{0}$ 型
设 $L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a^{1/n} + b^{1/n}}{2} \right)^n$，取自然对数：$\ln L = \lim_{n \to \infty} n \ln\left( \frac{a^{1/n} + b^{1/n}}{2} \right)$。令 $t = 1/n$，则 $t \to 0^+$，得 $\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln\left( \frac{a^t + b^t}{2} \right)}{t}$，这是 $\frac{0}{0}$ 型。
公式：\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln\left( \frac{a^t + b^t}{2} \right)}{t}
提示：注意 $a^t = e^{t \ln a}$，求导时要用链式法则。
步骤 6/6
目标：求极限 (3)：应用洛必达法则并求值
对分子求导：$\frac{d}{dt} \ln\left( \frac{a^t + b^t}{2} \right) = \frac{a^t \ln a + b^t \ln b}{a^t + b^t}$。分母 $t$ 的导数为 1。于是 $\ln L = \lim_{t \to 0} \frac{a^t \ln a + b^t \ln b}{a^t + b^t} = \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln \sqrt{ab}$。因此 $L = \sqrt{ab}$。
公式：\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2} \right)^n = \sqrt{ab}
提示：洛必达法则适用条件是 $\frac{0}{0}$ 型，且导数极限存在。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。