📝 首都师范大学 2026年数学分析真题
第0题
一．（24分）求极限．
（1）（8 分） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{\sin ^{3} x}$ ．
（2）（8 分） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k \sin \left(\frac{k}{n}\right)}{k n+1}$ ．
（3）（8 分） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}, a, b>0$ ．
（1）（8 分） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{\sin ^{3} x}$ ．
（2）（8 分） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k \sin \left(\frac{k}{n}\right)}{k n+1}$ ．
（3）（8 分） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}, a, b>0$ ．
第0题
七．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上连续，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 可积和绝对可积，若有
$$
f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right), x \in[-\pi, \pi] .
$$
证明：
$$
f^{\prime}(x) \sim \frac{c}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(n b_{n}+(-1)^{n} c\right) \cos n x-n a_{n} \sin n x\right], x \in[-\pi, \pi] .
$$
其中 $\displaystyle c=\frac{f(-\pi)+f(\pi)}{\pi}$ ，且 $\displaystyle c=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(-1)^{n-1} n b_{n}\right]$ ．
$$
f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right), x \in[-\pi, \pi] .
$$
证明：
$$
f^{\prime}(x) \sim \frac{c}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(n b_{n}+(-1)^{n} c\right) \cos n x-n a_{n} \sin n x\right], x \in[-\pi, \pi] .
$$
其中 $\displaystyle c=\frac{f(-\pi)+f(\pi)}{\pi}$ ，且 $\displaystyle c=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(-1)^{n-1} n b_{n}\right]$ ．
第0题
三．（15 分）解答如下问题：
（1）证明：对任意给定的正整数 $n$ ，方程 $\displaystyle x^{n+1}+x^{n}+\cdots+x=1$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上存在唯一的根，记为 $\displaystyle x_{n}$ ．
（2）证明：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ ．
（1）证明：对任意给定的正整数 $n$ ，方程 $\displaystyle x^{n+1}+x^{n}+\cdots+x=1$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上存在唯一的根，记为 $\displaystyle x_{n}$ ．
（2）证明：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ ．
第0题
九．（10分）计算曲面积分
$$
\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}(R>0)$ 的外侧．
$$
\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}(R>0)$ 的外侧．
第0题
二．（10 分）证明：$\displaystyle f(x)=x \sin x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上不一致连续．
第0题
五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，满足
$$
f^{\prime}(x)+f(x) \sin x=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in[0,1]
$$
且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[0,1]$ ．
$$
f^{\prime}(x)+f(x) \sin x=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in[0,1]
$$
且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[0,1]$ ．
第0题
八．（12 分）设 $C$ 是单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为逆时针，求积分
$$
\oint_{C} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}} .
$$
$$
\oint_{C} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}} .
$$
第0题
六．（10 分）证明：当 $\displaystyle \lambda<1$ 时， $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} R^{\lambda} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-R \sin \theta} \mathrm{~d} \theta=0$ ．
第0题
十．（10 分）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x) \geq 0(n=1,2, \cdots)$ 与函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且黎曼可积，对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [c, b]$ 上一致收敛于 0 ，且
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1, \lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x)=A
$$
证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) f_{n}(x) \mathrm{d} x=A$ ．
十一。（10 分）设积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且存在 $\displaystyle A>0$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [A,+\infty)$ 上非负，存在 $\displaystyle 0<p<1$ 使得当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle x^{p} f(x)$ 单调递减趋于零，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
十二。（10 分）设 $\displaystyle \left.f_{n}(x)\right\}(n=1,2, \cdots)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且对任意给定的 $\displaystyle x \in[a, b],\left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调递增。证明：如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1, \lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x)=A
$$
证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) f_{n}(x) \mathrm{d} x=A$ ．
十一。（10 分）设积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且存在 $\displaystyle A>0$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [A,+\infty)$ 上非负，存在 $\displaystyle 0<p<1$ 使得当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle x^{p} f(x)$ 单调递减趋于零，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
十二。（10 分）设 $\displaystyle \left.f_{n}(x)\right\}(n=1,2, \cdots)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且对任意给定的 $\displaystyle x \in[a, b],\left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调递增。证明：如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。
第0题
四．（12 分）设
$$
f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，沿任何方向的方向导数存在，但不可微．
$$
f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，沿任何方向的方向导数存在，但不可微．