首都师范大学 2026年数学分析第0题

令 $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$，则 $F'(x)=f(x)$，$F(0)=0$。原方程化为 $f'(x)+f(x)\sin x = F(x)$。两边对 $x$ 求导得 $f''(x)+f'(x)\sin x+f(x)\cos x = f(x)$，整理得 $f''(x)+f'(x)\sin x+f(x)(\cos x-1)=0$。

在原方程中令 $x=0$，得 $f'(0)+f(0)\cdot 0 = \int_0^0 f(t)dt = 0$，所以 $f'(0)=0$。又 $F(0)=0$，且已知 $\int_0^1 f(x)dx = F(1)=0$。

原方程 $f'(x) = -f(x)\sin x + \int_0^x f(t)dt$ 两边乘以 $f(x)$ 并在 $[0,1]$ 上积分：左边 $\int_0^1 f(x)f'(x)dx = \frac12[f^2(1)-f^2(0)]$；右边第一项 $-\int_0^1 f^2(x)\sin x dx$；右边第二项 $\int_0^1 f(x)\left(\int_0^x f(t)dt\right)dx$。交换积分次序得 $\iint_{0\le t\le x\le 1} f(x)f(t)dxdt = \int_0^1 f(t)\int_t^1 f(x)dx dt$。利用 $\int_0^1 f=0$ 得 $\int_t^1 f(x)dx = -\int_0^t f(x)dx$，因此该积分等于 $-\int_0^1 f(t)\left(\int_0^t f(x)dx\right)dt$，即它等于自身的相反数，故值为0。

由第三步结果，$\frac12[f^2(1)-f^2(0)] = -\int_0^1 f^2(x)\sin x dx$。在 $[0,1]$ 上 $\sin x \ge 0$，故右边 $\le 0$，因此左边 $\le 0$，即 $f^2(1) \le f^2(0)$。

令 $g(x)=e^{\int_0^x \sin t dt} f(x)=e^{1-\cos x} f(x)$，则 $g'(x)=e^{1-\cos x}(f'(x)+f(x)\sin x)=e^{1-\cos x}F(x)$，其中 $F(x)=\int_0^x f(t)dt$。再求导得 $g''(x)=e^{1-\cos x}\sin x F(x)+e^{1-\cos x}F'(x)=\sin x g'(x)+e^{1-\cos x}f(x)=\sin x g'(x)+g(x)$，整理得 $g''(x)-\sin x g'(x)-g(x)=0$。初始条件：$g'(0)=e^{1-\cos0}F(0)=0$，$g(0)=f(0)$。

将 $g$ 的微分方程乘以 $g'(x)$ 并在 $[0,1]$ 上积分：$\int_0^1 g''g'dx - \int_0^1 \sin x (g')^2 dx - \int_0^1 g g'dx = 0$。第一项 $\frac12[(g'(1))^2-(g'(0))^2]=\frac12(g'(1))^2$；第三项 $-\frac12[g^2(1)-g^2(0)]$。代入得 $\frac12(g'(1))^2 - \int_0^1 \sin x (g')^2 dx - \frac12(g^2(1)-g^2(0))=0$，即 $\frac12(g'(1))^2 + \frac12 g^2(0) = \int_0^1 \sin x (g')^2 dx + \frac12 g^2(1)$。由 $f^2(1)\le f^2(0)$ 及 $g(x)=e^{1-\cos x}f(x)$ 得 $g^2(1)\le g^2(0)$（因为 $e^{1-\cos 1}>0$ 且 $e^{1-\cos 0}=1$），故左边 $\ge \frac12 g^2(1)$，右边 $\ge \frac12 g^2(1)$，等号成立当且仅当 $g'(1)=0$ 且 $\int_0^1 \sin x (g')^2 dx=0$。由于 $\sin x>0$ 在 $(0,1]$ 上，故 $g'(x)\equiv 0$，从而 $g(x)$ 为常数。再由 $g'(0)=0$ 和 $F(1)=0$ 可推出 $g(x)\equiv 0$，进而 $f(x)\equiv 0$。