首都师范大学 2026年数学分析第0题

十．（10 分）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x) \geq 0(n=1,2, \cdots)$ 与函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且黎曼可积，对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [c, b]$ 上一致收敛于 0 ，且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1, \lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x)=A $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) f_{n}(x) \mathrm{d} x=A$ ． 十一。（10 分）设积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且存在 $\displaystyle A>0$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [A,+\infty)$ 上非负，存在 $\displaystyle 0<p<1$ 使得当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle x^{p} f(x)$ 单调递减趋于零，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ． 十二。（10 分）设 $\displaystyle \left.f_{n}(x)\right\}(n=1,2, \cdots)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且对任意给定的 $\displaystyle x \in[a, b],\left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调递增。证明：如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。